1. (16 баллов) В соревнованиях по шахматам каждый участник сыграл ровно по одной игре со всеми остальными участниками, в результате всех игр ничьи отсутствовали. Оказалось, что 4% всех участников не выиграли ни одной игры. Сколько шахматистов приняли участие в соревнованиях? 2. (17 баллов) Городской парк, имеющего форму прямоугольника с длиной 2х, разделили на две равные части. В каждой половине парка залили каток, прямоугольной формы длиной х. Площадь одного катка занимает шестую часть от всего парка и периметр катка равен 520 метров. Площадь другого катка восьмую часть от всего парка и периметр катка - 500 метров. Чему равен периметр всего парка? 3. (17 баллов) Даша, Маша и Света на олимпиаде по математике вместе решили 13 различных задач. Даша решила задач в 2 раза меньше Маши, а Света больше Даши, но меньше Маши. Сколько задач решила Света? 4. (20 баллов) Первый велосипедист доезжает из одного города в другой за 6 часов, а второй ту же дорогу преодолевает за 3 часа. Через сколько часов они встретятся, если одновременно выедут из городов навстречу друг другу? 5. (15 баллов) Одни из лучших сортов чая собираются в высокогорных районах Индии крестьянами вручную. При этом крестьянин получает 50 пайс за каждые полфунта собранного чая. Известно, что 1 фунт = 454 г, 100 пайс – 1 рупия. Сколько рупий заработает крестьянин, если соберёт 50 кг чая? 6. (15 баллов) Кирилл осенью у бабушки на даче заметил, что созревшие яблоки падают с яблони с частотой 1 штука в 3 минуты. При этом взвесив яблоки, он выяснил, что средняя масса одного яблока 200 грамм. Из 1 кг яблок получается 600 мл вкусного сока. Сколько сока можно получить за 8 часов? Ответ запишите в литрах.

Пусть x - количество шахматистов, принявших участие в соревнованиях.

Тогда 0.04x - количество шахматистов, не выигравших ни одной игры.

Общее количество игр равно $$ \frac{x(x-1)}{2} $$.

Так как ничьих не было, каждый участник сыграл ровно по одной игре со всеми остальными, то количество игр, в которых был победитель, равно $$ \frac{x(x-1)}{2} $$.

Условие, что 4% не выиграли ни одной игры, говорит о том, что число участников должно быть кратно 25 (чтобы 4% было целым числом).

Если 4% участников не выиграли ни одной игры, то оставшиеся 96% участников должны были выиграть хотя бы одну игру.

Проверим несколько значений x, кратных 25:

• Если x = 25, то 0.04 × 25 = 1 участник не выиграл ни одной игры.
• Если x = 50, то 0.04 × 50 = 2 участника не выиграли ни одной игры.

Если x = 25, то всего игр $$ \frac{25 \cdot 24}{2} = 300 $$. Это возможно, если каждый участник сыграл по одной игре со всеми остальными.

Рассмотрим случай, когда x=25. Тогда один участник проиграл все игры (24 игры), а остальные 24 участника должны были выиграть хотя бы одну игру. Это возможно, т.к. всего 300 игр.

Ответ: 25 шахматистов.

Пусть длина парка 2x, ширина y.

Площадь всего парка: $$S = 2x \cdot y$$

Площадь половины парка: $$S/2 = x \cdot y$$

Площадь первого катка: $$S_1 = \frac{1}{6} S = \frac{1}{6} (2xy) = \frac{1}{3} xy$$

Площадь второго катка: $$S_2 = \frac{1}{8} S = \frac{1}{8} (2xy) = \frac{1}{4} xy$$

Периметр первого катка: $$P_1 = 520$$

Периметр второго катка: $$P_2 = 500$$

Пусть ширина первого катка a, ширина второго катка b.

Тогда: $$S_1 = x \cdot a = \frac{1}{3} xy \Rightarrow a = \frac{1}{3} y$$

$$S_2 = x \cdot b = \frac{1}{4} xy \Rightarrow b = \frac{1}{4} y$$

Периметр первого катка: $$P_1 = 2(x + a) = 2(x + \frac{1}{3} y) = 520 \Rightarrow x + \frac{1}{3} y = 260$$

Периметр второго катка: $$P_2 = 2(x + b) = 2(x + \frac{1}{4} y) = 500 \Rightarrow x + \frac{1}{4} y = 250$$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) y = 10 \Rightarrow \frac{1}{12} y = 10 \Rightarrow y = 120$$

Подставим y в первое уравнение: $$x + \frac{1}{3} (120) = 260 \Rightarrow x + 40 = 260 \Rightarrow x = 220$$

Периметр всего парка: $$P = 2(2x + y) = 2(2 \cdot 220 + 120) = 2(440 + 120) = 2 \cdot 560 = 1120$$

Ответ: 1120 метров.

Пусть Даша решила x задач, Маша решила y задач, Света решила z задач.

Тогда:

$$x + y + z = 13$$

$$x = \frac{1}{2} y \Rightarrow y = 2x$$

$$x < z < y$$

Подставим y в первое уравнение:

$$x + 2x + z = 13 \Rightarrow 3x + z = 13 \Rightarrow z = 13 - 3x$$

$$x < 13 - 3x < 2x$$

Рассмотрим неравенство $$x < 13 - 3x$$:

$$4x < 13 \Rightarrow x < \frac{13}{4} = 3.25$$

Рассмотрим неравенство $$13 - 3x < 2x$$:

$$13 < 5x \Rightarrow x > \frac{13}{5} = 2.6$$

Таким образом, $$2.6 < x < 3.25$$. Так как x - целое число, то x = 3.

Тогда $$y = 2 \cdot 3 = 6$$ и $$z = 13 - 3 \cdot 3 = 13 - 9 = 4$$.

Следовательно, Даша решила 3 задачи, Маша решила 6 задач, Света решила 4 задачи.

Ответ: Света решила 4 задачи.

Пусть S - расстояние между городами.

Скорость первого велосипедиста: $$v_1 = \frac{S}{6}$$

Скорость второго велосипедиста: $$v_2 = \frac{S}{3}$$

При одновременном выезде навстречу друг другу их скорости складываются.

Общая скорость: $$v = v_1 + v_2 = \frac{S}{6} + \frac{S}{3} = \frac{S}{6} + \frac{2S}{6} = \frac{3S}{6} = \frac{S}{2}$$

Время встречи: $$t = \frac{S}{v} = \frac{S}{\frac{S}{2}} = 2$$

Ответ: Через 2 часа они встретятся.

Крестьянин получает 50 пайс за полфунта чая.

1 фунт = 454 г, следовательно, полфунта = 454/2 = 227 г.

100 пайс = 1 рупия.

Крестьянин собирает 50 кг чая = 50000 г.

Количество полфунтов в 50 кг: $$ \frac{50000}{227} \approx 220.26 $$.

За каждый полфунт крестьянин получает 50 пайс, значит, за 220.26 полфунтов он получит $$220.26 \cdot 50 = 11013$$ пайс.

Так как 100 пайс = 1 рупия, то крестьянин получит $$ \frac{11013}{100} = 110.13$$ рупий.

Ответ: 110.13 рупий.

Яблоки падают с частотой 1 штука в 3 минуты.

За 8 часов (480 минут) упадет $$ \frac{480}{3} = 160$$ яблок.

Средняя масса одного яблока 200 грамм, значит, масса 160 яблок: $$160 \cdot 200 = 32000$$ грамм = 32 кг.

Из 1 кг яблок получается 600 мл сока, значит, из 32 кг яблок получится $$32 \cdot 600 = 19200$$ мл сока.

Так как 1 литр = 1000 мл, то получится $$ \frac{19200}{1000} = 19.2$$ литра.

Ответ: 19.2 литра.