3. (17 баллов) В выпуклом четырёхугольнике АBCD угол В равен 90°, угол C равен 150° и АВ=ВС=CD. Найдите величину угла А.

Предмет: Геометрия

Пусть \(\angle A = \alpha\). Обозначим \(AB = BC = CD = a\).

Продлим стороны \(AB\) и \(CD\) до их пересечения в точке \(E\). Поскольку \(\angle B = 90^\circ\) и \(\angle C = 150^\circ\), то \(\angle BCE = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ\). Тогда \(\angle E = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\). Следовательно, треугольник \(BCE\) прямоугольный.

В прямоугольном треугольнике \(BCE\): $$BE = BC \cdot \operatorname{ctg} E = a \cdot \operatorname{ctg} 60^\circ = a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}$$.

$$CE = \frac{BC}{\sin E} = \frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$$

Тогда $$AE = AB + BE = a + \frac{a}{\sqrt{3}} = a\left(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$$.

$$DE = CD + CE = a + \frac{2a}{\sqrt{3}} = a\left(1 + \frac{2}{\sqrt{3}}\right)$$

В треугольнике \(ADE\):

$$\frac{AE}{\sin \angle ADE} = \frac{DE}{\sin \angle DAE}$$

$$\frac{a\left(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{\sin 30^\circ} = \frac{a\left(1 + \frac{2}{\sqrt{3}}\right)}{\sin \alpha}$$

$$\frac{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{2}} = \frac{1 + \frac{2}{\sqrt{3}}}{\sin \alpha}$$

$$2\left(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{1 + \frac{2}{\sqrt{3}}}{\sin \alpha}$$

$$\sin \alpha = \frac{1 + \frac{2}{\sqrt{3}}}{2\left(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right)} = \frac{\sqrt{3} + 2}{2(\sqrt{3} + 1)} = \frac{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} - 1)}{2(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{3 - \sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 2}{2(3 - 1)} = \frac{1 + \sqrt{3}}{4}$$

$$\alpha = \arcsin \frac{1 + \sqrt{3}}{4} \approx 68.09^\circ$$

Ответ: \(\angle A = \arcsin \frac{1 + \sqrt{3}}{4} \approx 68.09^\circ\)