C-9 1. На рисунке 11 АВ = BC, AK = KC, ZAKE = ∠РКС. До- кажите, что ДАКЕ = A KPC. 2. На рисунке 12 АВ = ВС и AD = DC. Докажите, что BD биссектриса угла АВС. C-10 В треугольниках АВС и АВ₁C₁ AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = = ∠B1, точки D и D, лежат соответственно на сторонах АС и АС1, причем CD = C₁D₁. Докажите, что △ BDC = ∆ B₁D₁C₁. Сравните отрезки BD и B₁D₁. C-11 1. На рисунке 13 хорды АВ и CD равны. Докажите, что ∠AOB = ∠COD. 2. Начертите отрезок и луч. На данном луче от его начала от- ложите отрезок, длина кото- рого в 2 раза больше длины данного отрезка. C-12 1. Даны острые углы АВС и MON. От стороны АВ во внеш- нюю область угла АВС отложите угол, равный уг- лу MON. 2. Постройте прямой угол и его биссектрису.

Вот решение задач: C-9 1. Доказательство, что ΔAKE = ΔKPC: Так как AB = BC и AK = KC, то K - середина AC. ∠AKE = ∠PKC (по условию). AK = KC (по условию). Следовательно, ΔAKE = ΔKPC по стороне и двум прилежащим углам (по второму признаку равенства треугольников). 2. Доказательство, что BD - биссектриса угла ABC: Так как AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный с основанием AC. Так как AD = DC, то D - середина AC. BD - медиана треугольника ABC, проведённая к основанию AC. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является и биссектрисой, следовательно, BD - биссектриса угла ABC. C-10 Доказательство, что ΔBDC = ΔB₁D₁C₁: Рассмотрим треугольники BDC и B₁D₁C₁. По условию CD = C₁D₁. ∠C = ∠C₁ (так как ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁). BC = B₁C₁ (так как AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁). Следовательно, ΔBDC = ΔB₁D₁C₁ по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников). Сравнение отрезков BD и B₁D₁: Так как треугольники BDC и B₁D₁C₁ равны, то BD = B₁D₁. C-11 1. Доказательство, что ∠AOB = ∠COD: Так как хорды AB и CD равны, то дуги, на которые они опираются, также равны (дуга AB = дуга CD). Центральные углы, опирающиеся на равные дуги, равны, следовательно, ∠AOB = ∠COD. 2. Построение отрезка и луча: Начертите отрезок длиной, например, 3 см. Обозначьте его. Начертите луч. От начала луча отложите отрезок, длина которого равна двум длинам данного отрезка, то есть 6 см. C-12 1. Построение угла, равного углу MON: От стороны AB во внешнюю область угла ABC отложите угол, равный углу MON. Для этого с помощью транспортира отложите угол MON от луча AB вне угла ABC. 2. Построение прямого угла и его биссектрисы: Постройте прямой угол с помощью линейки и транспортира. Отложите от вершины прямого угла луч так, чтобы он делил прямой угол на два равных угла. Так как прямой угол равен 90°, то биссектриса делит его на два угла по 45°.