Часть 1. Квадратные корни и степени. (1 балл за каждое задание) 1. Вычислите: √144 - √49 + √0; 2. Найдите значение выражения: (3²)³ : 3⁵; 3. Упростите выражение: √b⁸; 4. Представьте выражение в виде степени: y⁷/(y²)².y; 5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе: 5/√2 Часть 2. Квадратный трёхчлен. (2 балла за каждое задание) 1. Найдите корни квадратного трёхчлена: х² – 8x + 15; 2. Разложите квадратный трёхчлен на множители: 3х² – 5x – 2; 3. Сократите дробь: (x²-16)/(x+4); 4. Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена: x²-6x + 2. Часть 3. Применение. (3 балла за каждое задание) 1. Решите уравнение: √x - 2 = 4; 2. Упростите выражение: (√3 – 1)² – 2√3; 3. Найдите область определения выражения: √9 – х².

Вычислите: $$ \sqrt{144} - \sqrt{49} + \sqrt{0} $$.

$$ \sqrt{144} = 12 $$, $$ \sqrt{49} = 7 $$, $$ \sqrt{0} = 0 $$.

$$ 12 - 7 + 0 = 5 $$.

Ответ: 5.

Найдите значение выражения: $$(3^2)^3 : 3^5 $$.

Используем свойство степеней: $$(a^m)^n = a^{m \cdot n} $$.

$$ (3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 $$.

Теперь делим: $$3^6 : 3^5 $$.

Используем свойство степеней: $$a^m : a^n = a^{m-n} $$.

$$3^6 : 3^5 = 3^{6-5} = 3^1 = 3 $$.

Ответ: 3.

Упростите выражение: $$\sqrt{b^8}$$.

Представим корень в виде степени: $$ \sqrt{b^8} = (b^8)^{1/2} $$.

Используем свойство степеней: $$(a^m)^n = a^{m \cdot n} $$.

$$ (b^8)^{1/2} = b^{8 \cdot (1/2)} = b^4 $$.

Ответ: $$ \textbf{b}^4 $$.

Представьте выражение в виде степени: $$\frac{y^7}{(y^2)^2 \cdot y} $$.

Сначала упростим знаменатель: $$(y^2)^2 \cdot y = y^{2 \cdot 2} \cdot y = y^4 \cdot y = y^{4+1} = y^5 $$.

Теперь выражение выглядит так: $$\frac{y^7}{y^5} $$.

Используем свойство степеней: $$a^m : a^n = a^{m-n} $$.

$$ \frac{y^7}{y^5} = y^{7-5} = y^2 $$.

Ответ: $$ \textbf{y}^2 $$.

Освободитесь от иррациональности в знаменателе: $$\frac{5}{\sqrt{2}} $$.

Умножим числитель и знаменатель на $$\sqrt{2}$$:

$$ \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} $$.

Ответ: $$ \frac{5\sqrt{2}}{2} $$.

Найдите корни квадратного трёхчлена: $$x^2 - 8x + 15 $$.

Ищем корни квадратного уравнения $$ x^2 - 8x + 15 = 0 $$.

Дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4 $$.

Корни: $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 2}{2} = 5 $$.

$$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 2}{2} = 3 $$.

Ответ: 3 и 5.

Разложите квадратный трёхчлен на множители: $$3x^2 - 5x - 2 $$.

Найдем корни квадратного уравнения $$ 3x^2 - 5x - 2 = 0 $$.

Дискриминант: $$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 $$.

Корни: $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2 $$.

$$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} $$.

Разложение на множители: $$ a(x - x_1)(x - x_2) = 3(x - 2)(x + \frac{1}{3}) = (x - 2)(3x + 1) $$.

Ответ: $$ (x - 2)(3x + 1) $$.

Сократите дробь: $$\frac{x^2 - 16}{x + 4} $$.

Разложим числитель как разность квадратов: $$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4) $$.

Тогда дробь: $$\frac{(x - 4)(x + 4)}{x + 4} $$.

Сокращаем на $$ (x + 4) $$.

Получаем: $$ x - 4 $$.

Ответ: $$ \textbf{x - 4} $$.

Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена: $$ x^2 - 6x + 2 $$.

$$ x^2 - 6x + 2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 - 3^2 + 2 = (x - 3)^2 - 9 + 2 = (x - 3)^2 - 7 $$.

Ответ: $$ (x - 3)^2 - 7 $$.

Решите уравнение: $$\sqrt{x - 2} = 4 $$.

Возведем обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{x - 2})^2 = 4^2 $$.

$$ x - 2 = 16 $$.

$$ x = 16 + 2 = 18 $$.

Проверка: $$ \sqrt{18 - 2} = \sqrt{16} = 4 $$.

Ответ: $$ \textbf{18} $$.

Упростите выражение: $$(\sqrt{3} - 1)^2 - 2\sqrt{3} $$.

$$(\sqrt{3} - 1)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 1 + 1^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3} $$.

Тогда: $$4 - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 4 - 4\sqrt{3} $$.

Ответ: $$ \textbf{4 - 4\sqrt{3}} $$.

Найдите область определения выражения: $$\sqrt{9 - x^2} $$.

Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $$9 - x^2 \geq 0 $$.

$$ x^2 \leq 9 $$.

$$ -3 \leq x \leq 3 $$.

Ответ: $$ \textbf{[-3; 3]} $$.