16. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=14, DK=6, BC=21. Найдите AD.

По теореме о секущих, проведенных из одной точки к окружности, имеем: (KB cdot KA = KC cdot KD) Известно, что KB = 14, BC = 21. Значит, KC = KB + BC = 14 + 21 = 35 Также известно, что DK = 6. Пусть AD = x, тогда AK = DK + AD = 6 + x Подставим значения в уравнение: (14 cdot KA = 35 cdot 6) (KA = rac{35 cdot 6}{14} = rac{5 cdot 6}{2} = 15) Тогда: (AK = AB + BK) (15 = 6 + x) (x = 15 - 6 = 9) Значит, AD = 9 Пусть AD = x. Тогда по теореме о секущихся: (BK cdot (BK + AB) = DK cdot (DK + DC)) Используем подобие треугольников BKC и DKA \(\frac{BK}{DK} = \frac{BC}{AD}\) \(\frac{14}{6} = \frac{21}{AD}\) (14 cdot AD = 6 cdot 21) (AD = \frac{6 cdot 21}{14} = \frac{6 cdot 3}{2} = 9) Ответ: 9