Дан правильный тетраэдр с ребром 4 Через середину ребра К и вершину М постройте сечение, параллельное медиане АВ Найдите: а) длину отрезка КМ б) периметр сечения в) площадь сечения г) угол между сечением и осн д) расстояние от АВ до сечения е) отношение объемов многогр., на которые сечение делит тетраэдр

Решение: а) Длина отрезка КМ Так как K - середина ребра, а ребро тетраэдра равно 4, то KM является медианой равностороннего треугольника со стороной 4. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой и биссектрисой. Длина медианы (высоты) в равностороннем треугольнике вычисляется по формуле: $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$, где a - сторона треугольника. Подставляем значение a = 4: $$KM = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$ Ответ: $$KM = 2\sqrt{3}$$ б) Периметр сечения Сечение, параллельное медиане AB и проходящее через вершину M и середину ребра K, является равнобедренным треугольником. Основание этого треугольника параллельно AB и равно половине AB (так как сечение проходит через середину ребра). Боковые стороны этого треугольника равны KM. Основание треугольника: $$AB/2 = 4/2 = 2$$ Боковые стороны: $$KM = 2\sqrt{3}$$ Периметр сечения: $$P = 2 + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 2 + 4\sqrt{3}$$ Ответ: $$P = 2 + 4\sqrt{3}$$ в) Площадь сечения Площадь равнобедренного треугольника можно вычислить по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$$, где a - основание, h - высота. Высоту можно найти по теореме Пифагора. Пусть высота равна x: $$x = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 1^2} = \sqrt{12 - 1} = \sqrt{11}$$ Площадь сечения: $$S = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \sqrt{11} = \sqrt{11}$$ Ответ: $$S = \sqrt{11}$$ г) Угол между сечением и основанием Угол между сечением и основанием равен углу между высотой сечения и высотой основания. Так как тетраэдр правильный, этот угол равен 60 градусам. Ответ: 60°. д) Расстояние от AB до сечения Расстояние от AB до сечения равно половине высоты тетраэдра. Высота правильного тетраэдра со стороной a вычисляется по формуле: $$H = a\sqrt{\frac{2}{3}}$$. В нашем случае, a = 4, следовательно: $$H = 4\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$$ Расстояние от AB до сечения: $$\frac{1}{2}H = \frac{2\sqrt{6}}{3}$$ Ответ: $$\frac{2\sqrt{6}}{3}$$ е) Отношение объемов многогранников, на которые сечение делит тетраэдр Сечение делит тетраэдр на две части: отсеченный тетраэдр и оставшуюся часть. Отношение объемов этих частей составляет 1:7. Ответ: 1:7