Дана функция $$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$. Найдите область определения функции. При каких значениях $$x$$, $$f(x) < 0$$? Является ли функция возрастающей или убывающей на её области определения?

Для решения поставленных задач, необходимо проанализировать данную функцию и определить её свойства.

1. Область определения функции:

Функция $$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$$ определена для всех значений $$x$$, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Таким образом, необходимо исключить значения $$x$$, при которых $$x - 2 = 0$$.

Решаем уравнение:

$$x - 2 = 0$$ $$x = 2$$

Следовательно, область определения функции - все числа, кроме $$x = 2$$. Это можно записать как интервал:

$$(-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$$

2. Значения $$x$$, при которых $$f(x) < 0$$:

Для определения, при каких значениях $$x$$ функция отрицательна, сначала упростим выражение:

$$f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$$

При $$x
eq 2$$ можно сократить $$(x - 2)$$:

$$f(x) = x + 2$$

Теперь нужно найти, при каких $$x$$ выполняется условие $$f(x) < 0$$:

$$x + 2 < 0$$ $$x < -2$$

Таким образом, функция $$f(x)$$ отрицательна при $$x \in (-\infty; -2)$$.

3. Характер функции (возрастающая или убывающая):

После упрощения, $$f(x) = x + 2$$ (при $$x
eq 2$$). Это линейная функция с угловым коэффициентом, равным 1. Поскольку угловой коэффициент положительный, функция является возрастающей на всей своей области определения (то есть на интервалах $$(-\infty; 2)$$ и $$(2; +\infty)$$).