Дано: ABCD - прямоугольник, CD = 30, ∠BCM = 60°. Найти P_EFMN.

Т.к. ABCD - прямоугольник, то BC = AD и AB = CD = 30. Т.к. EFMN - ромб (т.к. образован серединами сторон прямоугольника), то EF = FM = MN = NE.

Рассмотрим треугольник BCM. Он прямоугольный (т.к. ABCD - прямоугольник). ∠BCM = 60°, следовательно, ∠CBM = 90° - 60° = 30°.

Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Таким образом, CM = BC / 2, а BC = 2 × CM.

Т.к. M - середина CD, то CM = CD / 2 = 30 / 2 = 15.

Тогда BC = 2 × 15 = 30.

Т.к. E и F - середины сторон AB и BC соответственно, то EF - средняя линия треугольника ABC. Средняя линия треугольника равна половине параллельной ей стороны. Таким образом, EF = AC / 2.

Т.к. ABCD - прямоугольник, то AC = BD (диагонали равны). Диагональ прямоугольника можно найти по теореме Пифагора: AC² = AB² + BC² = 30² + 30² = 900 + 900 = 1800. AC = √1800 = 30√2.

EF = AC / 2 = (30√2) / 2 = 15√2.

Т.к. EFMN - ромб, то P_EFMN = 4 × EF = 4 × 15√2 = 60√2.

Ответ: 60√2