Дано число: 2⁵⁴⁰ + 2³⁴⁰-2¹⁴⁰-7. Определите количество единиц в двоичной записи этого числа.

Для решения этой задачи необходимо понять, как двоичное представление чисел связано со степенями двойки.

Число 2⁵⁴⁰ в двоичной системе будет представлять собой единицу и 540 нулей. Аналогично, 2³⁴⁰ - это единица и 340 нулей, а 2¹⁴⁰ - единица и 140 нулей.

Выражение 2⁵⁴⁰ + 2³⁴⁰ означает, что к числу, состоящему из единицы и 540 нулей, прибавляется число, состоящее из единицы и 340 нулей. В двоичной записи это будет выглядеть как две единицы, разделенные нулями.

Далее, из этой суммы вычитается 2¹⁴⁰. Вычитание 2¹⁴⁰ из 2³⁴⁰ эквивалентно замене единицы в позиции 340 на нуль, а все нули до позиции 140 заменяются единицами, и в позиции 140 ставится нуль. Это связано с тем, что вычитание степени двойки из большей степени двойки приводит к ряду единиц в двоичном представлении.

Наконец, вычитаем 7. Число 7 в двоичной системе - это 111 (три единицы). Вычитание 7 из полученного числа приведет к изменению последних трех битов. Так как ранее у нас была серия единиц, то вычитание 111 из ...111 даст ...000, и добавится разряд переноса, который изменит соседние биты.

Рассмотрим это более подробно:

2⁵⁴⁰ в двоичной форме: 1000...0 (540 нулей)

2³⁴⁰ в двоичной форме: 1000...0 (340 нулей)

2¹⁴⁰ в двоичной форме: 1000...0 (140 нулей)

2⁵⁴⁰ + 2³⁴⁰: 1000...01000...0 (между единицами 199 нулей)

Теперь вычтем 2¹⁴⁰: 1000...00111...1000...0 (139 единиц, 199 нулей между 1 и серией единиц)

Вычитание 7 (111 в двоичной форме) из 2³⁴⁰ - 2¹⁴⁰: последние три единицы превратятся в нули.

Таким образом, после вычитания 7 у нас останется 2 единицы (от 2⁵⁴⁰) + 140 - 3 = 137 единиц.

Итого, общее количество единиц в двоичной записи равно: 1 + 137 = 138.