Дано: FSMN — прямоугольник, OK = 24, CD = 30, угол C = 60 градусов. Найти: SF и P EFMN.

Решение: 3. Дано: FSMN – прямоугольник, OK = 24. Найти SF. O – точка пересечения диагоналей прямоугольника FSMN. OK – перпендикуляр из точки O на сторону FN.

Так как FSMN прямоугольник, то O – середина FN и SM. OK = \(\frac{1}{2}\) FS.

Значит, FS = 2 × OK

FS = 2 \(\cdot\) 24 = 48

Так как FSMN прямоугольник, то FS = MN = 48.

Диагонали прямоугольника равны, значит, SM = FN.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SFM, где угол SFM = 90\(\deg\).

По теореме Пифагора: $$SM^2 = SF^2 + FM^2$$

$$SF = \sqrt{SM^2 - FM^2}$$

Так как FM = OK, то FM = 24.

$$SM = FN = \sqrt{SF^2 + FM^2} = \sqrt{SF^2 + 24^2}$$

Подставим в уравнение:

$$SF = \sqrt{(\sqrt{SF^2 + 24^2})^2 - 48^2} = \sqrt{SF^2 + 576 - 2304} = \sqrt{SF^2 - 1728}$$

Возведем обе части в квадрат:

$$SF^2 = SF^2 - 1728$$

0 = -1728

Решения нет. Вероятно, в условии задачи допущена ошибка.

Допустим, что OK – это не перпендикуляр из точки O на сторону FN, а половина диагонали прямоугольника.

Тогда SM = FN = 2 × OK = 2 × 24 = 48.

Так как FSMN прямоугольник, то FM = SN.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SFM, где угол SFM = 90°.

По теореме Пифагора: $$SM^2 = SF^2 + FM^2$$

Тогда SF = \(\sqrt{SM^2 - FM^2}\)

В данной задаче недостаточно данных, чтобы найти SF.

Ответ: SF найти нельзя.

4. Дано: ABCD – прямоугольник, CD = 30, угол C = 60°. Найти P EFMN.

Так как ABCD прямоугольник, то BC = AD, AB = CD = 30, все углы прямые, диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

EFMN – четырехугольник, образованный точками E, F, M, N, которые являются серединами сторон прямоугольника ABCD.

EF – средняя линия треугольника ABC, MN – средняя линия треугольника ADC.

Значит, EF = \(\frac{1}{2}\) AC, MN = \(\frac{1}{2}\) AC, EF = MN, EF || AC, MN || AC.

EN – средняя линия треугольника ABD, FM – средняя линия треугольника BCD.

Значит, EN = \(\frac{1}{2}\) BD, FM = \(\frac{1}{2}\) BD, EN = FM, EN || BD, FM || BD.

Так как диагонали прямоугольника равны, то AC = BD, \(\frac{1}{2}\) AC = \(\frac{1}{2}\) BD, EF = MN = EN = FM.

Значит, EFMN – ромб.

Рассмотрим треугольник BCD: угол BCD = 90\(\deg\), CD = 30, угол C = 60\(\deg\).

Тогда угол CDB = 90\(\deg\) - 60\(\deg\) = 30\(\deg\).

Катет, лежащий против угла в 30\(\deg\) равен половине гипотенузы, значит BC = \(\frac{1}{2}\) BD.

BD = 2BC, AC = BD = 2BC.

В прямоугольном треугольнике BCD по теореме Пифагора: $$BD^2 = BC^2 + CD^2$$

Подставим BD = 2BC в уравнение:

$$(2BC)^2 = BC^2 + CD^2$$

$$4BC^2 = BC^2 + CD^2$$

$$3BC^2 = CD^2$$

$$BC = \sqrt{\frac{CD^2}{3}} = \frac{CD}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$$

$$BD = 2BC = 2 \cdot 10\sqrt{3} = 20\sqrt{3}$$

$$EF = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 20\sqrt{3} = 10\sqrt{3}$$

Значит, все стороны ромба EFMN равны $$10\sqrt{3}$$.

Периметр ромба EFMN равен сумме длин всех его сторон: $$P_{EFMN} = 4 \cdot EF = 4 \cdot 10\sqrt{3} = 40\sqrt{3}$$.

Ответ: SF найти нельзя, $$P_{EFMN} = 40\sqrt{3}$$.