Дано: трапеция ABCD равнобокая; ∠1=∠2; HK = 3 см; KN = 5 см; KN - средняя линия. Найти: PABCD.

В равнобокой трапеции ABCD, HK и KN являются отрезками, связанными со средней линией. Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.

Пусть BC и AD — основания трапеции, где BC = HK = 3 см, а KN — часть средней линии, равная 5 см.

Средняя линия MN (где M — середина AB, N — середина CD) равна HK + KN = 3 см + 5 см = 8 см.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $$MN = \frac{BC + AD}{2}$$

Подставляем известные значения: $$8 = \frac{3 + AD}{2}$$

Умножаем обе части уравнения на 2: $$16 = 3 + AD$$

Находим AD: $$AD = 16 - 3 = 13$$ см

Так как трапеция равнобокая, боковые стороны AB и CD равны. Чтобы найти их, рассмотрим треугольники, образованные высотами, опущенными из вершин B и C на основание AD. Обозначим основания высот H и N соответственно. Тогда AH = ND = (AD - BC) / 2 = (13 - 3) / 2 = 5 см.

Треугольники ABH и CDN прямоугольные и равны. Высота BH равна высоте CN, а AH = ND = 5 см. Так как углы при основании AD равны (∠1=∠2), то треугольники ABH и CDN равнобедренные, следовательно, BH = AH = 5 см. Тогда боковая сторона AB = CD = \(\sqrt{AH^2 + BH^2}\) = \(\sqrt{5^2 + 5^2}\) = \(\sqrt{50}\) = 5\(\sqrt{2}\) см.

Периметр трапеции ABCD равен: P = AB + BC + CD + AD = 5\(\sqrt{2}\) + 3 + 5\(\sqrt{2}\) + 13 = 16 + 10\(\sqrt{2}\) см.

Ответ: PABCD = 16 + 10\(\sqrt{2}\) см