2. Дано: A(-2;1) B(1;5) C(2;-2) S=? P=?

Для решения задачи необходимо найти площадь (S) и периметр (P) треугольника ABC с заданными координатами вершин.

1) Найдем длины сторон треугольника, используя формулу расстояния между двумя точками: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$.

$$AB = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

$$BC = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-2 - 5)^2} = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}$$

$$AC = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

2) Найдем периметр треугольника: $$P = AB + BC + AC = 5 + \sqrt{50} + 5 = 10 + \sqrt{50} = 10 + 5\sqrt{2}$$.

3) Для нахождения площади воспользуемся формулой Герона: $$S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}$$, где $$p$$ - полупериметр, а $$a$$, $$b$$, $$c$$ - стороны треугольника. $$p = \frac{P}{2} = \frac{10 + 5\sqrt{2}}{2} = 5 + \frac{5\sqrt{2}}{2}$$.

$$S = \sqrt{(5 + \frac{5\sqrt{2}}{2})(5 + \frac{5\sqrt{2}}{2} - 5)(5 + \frac{5\sqrt{2}}{2} - \sqrt{50})(5 + \frac{5\sqrt{2}}{2} - 5)}$$

$$S = \sqrt{(5 + \frac{5\sqrt{2}}{2})(\frac{5\sqrt{2}}{2})(5 + \frac{5\sqrt{2}}{2} - 5\sqrt{2})(\frac{5\sqrt{2}}{2})}$$

$$S = \sqrt{(5 + \frac{5\sqrt{2}}{2})(\frac{5\sqrt{2}}{2})(5 - \frac{5\sqrt{2}}{2})(\frac{5\sqrt{2}}{2})}$$

$$S = \frac{5\sqrt{2}}{2} \sqrt{(5 + \frac{5\sqrt{2}}{2})(5 - \frac{5\sqrt{2}}{2})} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{4}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \sqrt{25 - \frac{50}{4}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \sqrt{25 - 12.5} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \sqrt{12.5} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{25}{2} = 12.5$$

Ответ:

Периметр: $$P = 10 + 5\sqrt{2}$$

Площадь: $$S = 12.5$$