Контрольные задания > 1. Диагонали прямоугольника ABCD пересекается в точке 0, LABO = 36°. Найдите угол АOD. 2. Найдите углы прямоугольной трапеции, если один из ее углов равен 20°. 3. Стороны параллелограмма относятся как 1 : 2, а его периметр равен 30 см. Найдите стороны параллелограмма. 4. В равнобокой трапеции сумма углов при большем основании равна 96°. Найдите углы трапеции. 5*. Высота ВМ, проведенная из вершины угла ромба АВСD обра- зует со стороной АВ угол 30°, АМ = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка М лежит на стороне AD.
Вопрос:

1. Диагонали прямоугольника ABCD пересекается в точке 0, LABO = 36°. Найдите угол АOD. 2. Найдите углы прямоугольной трапеции, если один из ее углов равен 20°. 3. Стороны параллелограмма относятся как 1 : 2, а его периметр равен 30 см. Найдите стороны параллелограмма. 4. В равнобокой трапеции сумма углов при большем основании равна 96°. Найдите углы трапеции. 5*. Высота ВМ, проведенная из вершины угла ромба АВСD обра- зует со стороной АВ угол 30°, АМ = 4 см. Найдите длину диагонали BD ромба, если точка М лежит на стороне AD.

Ответ:

  1. 1. Рассмотрим прямоугольник $$ABCD$$. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, $$AO = BO$$, следовательно, треугольник $$ABO$$ – равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $$\angle BAO = \angle ABO = 36\deg$$. Сумма углов треугольника равна $$180\deg$$, поэтому $$\angle AOB = 180\deg - \angle BAO - \angle ABO = 180\deg - 36\deg - 36\deg = 108\deg$$.

    Углы $$AOD$$ и $$AOB$$ – смежные, значит, их сумма равна $$180\deg$$. Следовательно, $$\angle AOD = 180\deg - \angle AOB = 180\deg - 108\deg = 72\deg$$.

    Ответ: $$\angle AOD = \mathbf{72\deg}$$

  2. 2. В прямоугольной трапеции два угла прямые (равны $$90\deg$$). Пусть один из углов равен $$20\deg$$, тогда этот угол не может быть прямым, а значит, это один из двух других углов. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $$180\deg$$. Тогда углы трапеции равны: $$20\deg$$, $$90\deg$$, $$90\deg$$ и $$180\deg - 20\deg = 160\deg$$.

    Ответ: $$20\deg$$, $$90\deg$$, $$90\deg$$ и $$\mathbf{160\deg}$$

  3. 3. Пусть одна сторона параллелограмма равна $$x$$ см, тогда другая сторона равна $$2x$$ см. Периметр параллелограмма равен $$2(x + 2x) = 6x$$ см, что по условию равно 30 см. Следовательно, $$6x = 30$$, откуда $$x = 5$$. Тогда одна сторона равна 5 см, а другая $$2 \cdot 5 = 10$$ см.

    Ответ: $$\mathbf{5}$$ см и $$\mathbf{10}$$ см.

  4. 4. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны. Пусть сумма углов при большем основании равна $$96\deg$$, тогда каждый из этих углов равен $$96\deg \div 2 = 48\deg$$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $$180\deg$$. Тогда углы при другом основании равны $$180\deg - 48\deg = 132\deg$$.

    Ответ: $$\mathbf{48\deg}$$ и $$\mathbf{132\deg}$$

  5. 5. Рассмотрим ромб $$ABCD$$. Высота $$BM$$ образует со стороной $$AB$$ угол $$30\deg$$, значит, треугольник $$ABM$$ прямоугольный, $$\angle ABM = 30\deg$$. В прямоугольном треугольнике против угла в $$30\deg$$ лежит катет, равный половине гипотенузы, то есть $$AM = \frac{1}{2} AB$$. По условию $$AM = 4$$ см, тогда $$AB = 2AM = 2 \cdot 4 = 8$$ см. Так как $$ABCD$$ – ромб, то все его стороны равны, то есть $$AB = BC = CD = AD = 8$$ см.

    Так как $$M$$ лежит на стороне $$AD$$, то $$MD = AD - AM = 8 - 4 = 4$$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BMD$$. По теореме Пифагора $$BD^2 = BM^2 + MD^2$$. В прямоугольном треугольнике $$ABM$$ по теореме Пифагора $$BM^2 = AB^2 - AM^2 = 8^2 - 4^2 = 64 - 16 = 48$$. Тогда $$BD^2 = 48 + 4^2 = 48 + 16 = 64$$, следовательно, $$BD = \sqrt{64} = 8$$ см.

    Ответ: $$\mathbf{8}$$ см.

Смотреть решения всех заданий с листа
Подать жалобу Правообладателю

Похожие