Докажите, что площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.

Доказательство: Пусть дана трапеция ABCD, где BC и AD – основания, а h – высота. Площадь трапеции можно вычислить как сумму площадей двух треугольников и прямоугольника (если трапеция не прямоугольная) или как сумму площадей двух треугольников (если трапеция прямоугольная). Разделим трапецию на два треугольника, проведя диагональ AC. Тогда площадь трапеции равна сумме площадей треугольников ABC и ADC. $$S_{ABCD} = S_{ABC} + S_{ADC}$$ Площадь треугольника ABC равна половине произведения основания BC на высоту h: $$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h$$ Площадь треугольника ADC равна половине произведения основания AD на высоту h: $$S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h$$ Тогда площадь трапеции ABCD равна: $$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h + \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (BC + AD) = \frac{BC + AD}{2} \cdot h$$ Таким образом, площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту, что и требовалось доказать.