Домашнее задание 1) В правильном треугольнике АВС медианы АК и CF пересекаются в точке О. Найдите биссектрису угла В, если ОК = 5. 2) В трапеции ABCD боковые стороны АВ и CD равны, СН высота, проведенная к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия КМ трапеции равна 16, а меньшее основание ВС равно 4. 3) Постройте на каждом рисунке треугольник, для которого данные точки были бы серединами его сторон.

1) В правильном треугольнике все углы равны 60 градусам. Медианы в правильном треугольнике являются и биссектрисами, и высотами. Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Следовательно, если OK = 5, то BO = 2 * OK = 2 * 5 = 10. Так как медиана BK также является биссектрисой угла B, то биссектриса угла B равна BK = BO + OK = 10 + 5 = 15. 2) Дано: трапеция ABCD, AB = CD, KM = 16 (средняя линия), BC = 4, CH - высота, CH ⊥ AD. Найти: HD. Решение:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

$$KM = \frac{BC + AD}{2}$$

Подставим известные значения:

$$16 = \frac{4 + AD}{2}$$

Умножим обе части на 2:

$$32 = 4 + AD$$

Выразим AD:

$$AD = 32 - 4 = 28$$

Так как трапеция равнобедренная, высота CH разбивает основание AD на два отрезка, причем AH = (AD - BC) / 2

$$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{28 - 4}{2} = \frac{24}{2} = 12$$

HD = AD - AH

$$HD = 28 - 12 = 16$$ 3) Для построения треугольника, для которого данные точки являлись бы серединами его сторон, нужно выполнить следующие шаги:

1. Соедините данные точки (A, B, C) отрезками.
2. Через каждую точку проведите прямую, параллельную отрезку, образованному двумя другими точками.
3. Продлите эти прямые до их пересечения.
4. Точки пересечения этих прямых и будут вершинами искомого треугольника.

В результате получим треугольник, стороны которого будут параллельны отрезкам AB, BC и AC, а точки A, B и C будут серединами этих сторон.

      E
     / \
    /   \
   /     \
  B-------C
 / \     / \
/   \   /   \
A-----F-----D

На схеме:

• A, B, C – заданные середины сторон треугольника.
• D, E, F – вершины искомого треугольника.
• AB || DE, BC || EF, AC || DF