Игральную кость бросают дважды. Являются ли независимыми события М «на первой кости выпало 2 или 3 очка» и N «сумма выпавших очков не больше семи»? Ответ объясните.

События M и N независимы, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления другого. Событие M: на первой кости выпало 2 или 3. Вероятность (P(M) = rac{2}{6} = rac{1}{3}). Событие N: сумма выпавших очков не больше семи. Чтобы проверить, зависимы ли события M и N, нужно проверить, выполняется ли равенство (P(M \cap N) = P(M) * P(N)). Посчитаем вероятность (P(M \cap N)): это вероятность того, что на первой кости выпало 2 или 3, и сумма очков не больше 7. Если на первой кости выпало 2, то на второй кости должно выпасть не больше 5 (чтобы сумма была не больше 7). Это возможно в 5 случаях (1, 2, 3, 4, 5). Если на первой кости выпало 3, то на второй кости должно выпасть не больше 4 (чтобы сумма была не больше 7). Это возможно в 4 случаях (1, 2, 3, 4). Всего благоприятных исходов для (M \cap N) получается 5 + 4 = 9. Общее количество исходов при бросании двух костей равно 6 * 6 = 36. Тогда (P(M \cap N) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}). Теперь посчитаем вероятность (P(N)): сумма выпавших очков не больше 7. Возможные варианты: 1+1, 1+2, 1+3, 1+4, 1+5, 1+6 2+1, 2+2, 2+3, 2+4, 2+5 3+1, 3+2, 3+3, 3+4 4+1, 4+2, 4+3 5+1, 5+2 6+1 Всего 21 исход. (P(N) = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}). Проверим равенство (P(M \cap N) = P(M) * P(N)): \(\frac{1}{4} = \frac{1}{3} * \frac{7}{12}\) \(\frac{1}{4} = \frac{7}{36}\) - это неверно. Так как равенство не выполняется, события M и N являются зависимыми.