Из точки A вне окружности проведены две касательные AB и AC (где B, C — точки касания). Через произвольную точку X на окружности проведена касательная к окружности, пересекающая AB и AC в точках M и N соответственно. Найдите периметр треугольника $$AMN$$, если $$AB = 10$$.

Обозначим точку касания прямой $$MN$$ с окружностью через $$K$$.

По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, имеем:

• $$AM = AK$$ (касательные из точки $$M$$)
• $$AN = AK$$ (касательные из точки $$N$$)
• $$AB = AC$$ (касательные из точки $$A$$)

Тогда периметр треугольника $$AMN$$ равен:

$$P_{AMN} = AM + AN + MN$$

Заметим, что $$MN = MK + NK$$. Снова применяя свойство касательных, имеем $$MK = MB$$ и $$NK = NC$$. Следовательно, $$MN = MB + NC$$.

Подставляем это в выражение для периметра:

$$P_{AMN} = AM + AN + MB + NC = (AM + MB) + (AN + NC) = AB + AC$$

Так как $$AB = AC = 10$$, то периметр треугольника $$AMN$$ равен:

$$P_{AMN} = 10 + 10 = 20$$

Ответ: 20