K4 B1 1. Найдите пересечение и объединение множеств А и В, где А – множество делителей числа 18, В – множество делителей числа 24. 2. Найдите значение выражения: 1) 0,5√1600 - √36; 2) √0,25 · 81; 3) √6² · 2³; 4) √20 · √5 - √63/√7. 3. Решите уравнение: 1) x² = 2; 2) x² = -16; 3) √x = 4; 4) √x = -9. 4. Упростите выражение: 1) 7√2 - 3√8 + 4√18; 2) (√90 - √40) · √10; 3) (3√5 - 2)²; 4) (2√3 + 3√5)(2√3 - 3√5). 5. Сравните числа: 1) 7√2 и 6√3; 2) 6 2/3 и 4 3/2. 6. Сократите дробь: 1) (√a + 7) / (a - 49); 2) (33 - √33) / √33; 3) (a - 2√3a + 3) / (a - 3). 7. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби: 1) 3 / (2√6); 2) 10 / (√14 - 2). 8. Вынесите множитель из-под знака корня: 1) √5b², если b ≤ 0; 2) √12a⁴; 3) √-a⁵; 4) √-a³b⁶, если b > 0. 9. Упростите выражение (√13 - √101)² - √(√101 - 11)².

1.

Множество делителей числа 18: A = {1, 2, 3, 6, 9, 18}

Множество делителей числа 24: B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Пересечение множеств A и B (общие элементы): A ∩ B = {1, 2, 3, 6}

Объединение множеств A и B (все элементы из A и B): A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24}

2.

1) $$0{,}5 \cdot \sqrt{1600} - \sqrt{36} = 0{,}5 \cdot 40 - 6 = 20 - 6 = 14$$

2) $$\sqrt{0{,}25 \cdot 81} = \sqrt{0{,}25} \cdot \sqrt{81} = 0{,}5 \cdot 9 = 4{,}5$$

3) $$\sqrt{6^2} \cdot 2^3 = 6 \cdot 8 = 48$$

4) $$\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} - \frac{\sqrt{63}}{\sqrt{7}} = \sqrt{20 \cdot 5} - \sqrt{\frac{63}{7}} = \sqrt{100} - \sqrt{9} = 10 - 3 = 7$$

3.

1) $$x^2 = 2;\ x = \pm \sqrt{2}$$

2) $$x^2 = -16$$ - нет решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

3) $$\sqrt{x} = 4;\ x = 4^2 = 16$$

4) $$\sqrt{x} = -9$$ - нет решений, так как квадратный корень не может быть отрицательным.

4.

1) $$7\sqrt{2} - 3\sqrt{8} + 4\sqrt{18} = 7\sqrt{2} - 3\sqrt{4 \cdot 2} + 4\sqrt{9 \cdot 2} = 7\sqrt{2} - 3 \cdot 2\sqrt{2} + 4 \cdot 3\sqrt{2} = 7\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 12\sqrt{2} = 13\sqrt{2}$$

2) $$(\sqrt{90} - \sqrt{40}) \cdot \sqrt{10} = (\sqrt{9 \cdot 10} - \sqrt{4 \cdot 10}) \cdot \sqrt{10} = (3\sqrt{10} - 2\sqrt{10}) \cdot \sqrt{10} = \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} = 10$$

3) $$(3\sqrt{5} - 2)^2 = (3\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 3\sqrt{5} \cdot 2 + 2^2 = 9 \cdot 5 - 12\sqrt{5} + 4 = 45 - 12\sqrt{5} + 4 = 49 - 12\sqrt{5}$$

4) $$(2\sqrt{3} + 3\sqrt{5})(2\sqrt{3} - 3\sqrt{5}) = (2\sqrt{3})^2 - (3\sqrt{5})^2 = 4 \cdot 3 - 9 \cdot 5 = 12 - 45 = -33$$

5.

1) Сравним $$7\sqrt{2}$$ и $$6\sqrt{3}$$

$$(7\sqrt{2})^2 = 49 \cdot 2 = 98$$

$$(6\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$$

Так как 98 < 108, то $$7\sqrt{2} < 6\sqrt{3}$$

2) Сравним $$6\frac{2}{3}$$ и $$4\frac{3}{2}$$

$$6\frac{2}{3} = \frac{20}{3}$$

$$4\frac{3}{2} = \frac{11}{2}$$

Приведем к общему знаменателю 6: $$\frac{20}{3} = \frac{40}{6}$$ и $$\frac{11}{2} = \frac{33}{6}$$

Так как 40 > 33, то $$6\frac{2}{3} > 4\frac{3}{2}$$

6.

1) $$\frac{\sqrt{a} + 7}{a - 49} = \frac{\sqrt{a} + 7}{(\sqrt{a} - 7)(\sqrt{a} + 7)} = \frac{1}{\sqrt{a} - 7}$$

2) $$\frac{33 - \sqrt{33}}{\sqrt{33}} = \frac{\sqrt{33}(\sqrt{33} - 1)}{\sqrt{33}} = \sqrt{33} - 1$$

3) $$\frac{a - 2\sqrt{3a} + 3}{a - 3} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{3})^2}{(\sqrt{a} - \sqrt{3})(\sqrt{a} + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{3}}{\sqrt{a} + \sqrt{3}}$$

7.

1) $$\frac{3}{2\sqrt{6}} = \frac{3 \cdot \sqrt{6}}{2\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{\sqrt{6}}{4}$$

2) $$\frac{10}{\sqrt{14} - 2} = \frac{10(\sqrt{14} + 2)}{(\sqrt{14} - 2)(\sqrt{14} + 2)} = \frac{10(\sqrt{14} + 2)}{14 - 4} = \frac{10(\sqrt{14} + 2)}{10} = \sqrt{14} + 2$$

8.

1) Если $$b \le 0$$, то $$\sqrt{5b^2} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{b^2} = \sqrt{5} \cdot |b| = -b\sqrt{5}$$

2) $$\sqrt{12a^4} = \sqrt{4 \cdot 3 \cdot (a^2)^2} = 2a^2\sqrt{3}$$

3) $$\sqrt{-a^5} = \sqrt{-a^4 \cdot a} = a^2\sqrt{-a}$$, где $$a \le 0$$

4) Если $$b > 0$$, то $$\sqrt{-a^3b^6} = \sqrt{-a^2 \cdot a \cdot (b^3)^2} = |a|b^3\sqrt{-a} = -ab^3\sqrt{-a}$$, где $$a \le 0$$

9.

$$(\sqrt{13} - \sqrt{101})^2 - \sqrt{(\sqrt{101} - 11)^2} = (\sqrt{13} - \sqrt{101})^2 - |\sqrt{101} - 11|$$

Так как $$\sqrt{101} > 11$$, то $$|\sqrt{101} - 11| = \sqrt{101} - 11$$

Далее:

$$(\sqrt{13} - \sqrt{101})^2 - (\sqrt{101} - 11) = (\sqrt{13})^2 - 2\sqrt{13}\sqrt{101} + (\sqrt{101})^2 - \sqrt{101} + 11 = 13 - 2\sqrt{1313} + 101 - \sqrt{101} + 11 = 125 - 2\sqrt{1313} - \sqrt{101}$$