9 класс C-4, B-2 1. Точка А делит отрезок EF в отношении ЕА: AF = 2: 5. ← Выразите вектор Ке через векторы т = КА и п = KF, где К - про- извольная точка, не лежащая на прямой EF. 2. Высота, проведённая из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные 2 см и 6 см. Найдите основания трапеции. 9 класс C-5, B-1 1. В прямоугольной системе координат постройте векторы а {2; 0}; 6{3; -2}; c{0; -2}; {-1; -1}. 2. Найдите координаты векторов а + б, а - б, 2a + 36, если a {3; -5}; 6{2; 3}. 3. Векторы а (3; −6} и б{9; у} коллинеарны. Найдите число у. 9 класс C-5, B-2 1. В прямоугольной системе координат постройте векторы п (3; 0}; m{4; -1}; c{0; -3}; {-1; -1}. → 수 2. Найдите координаты векторов т + п, м - п, 3m - 2п, если m{4; -2}; n {5; 3}. ← 3. Векторы т {x; 10} и п{-2; 5) коллинеарны. Найдите число х. 9 класс C-6, B-1 1. На оси ординат найдите точку М (0; у), равноудалённую от то- чек А (-3; 5) и В (6; 4). 2. Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллело- граммом, если М (1; 1), N (6; 1); P (7; 4), Q (2; 4). 3. Основания прямоугольной трапеции равны 6 см и 8 см, а вы- сота 5 см. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции.

Решаю предоставленные задачи по геометрии. 9 класс, C-4, B-2 1. Выразим вектор $$\vec{KE}$$ через векторы $$\vec{m} = \vec{KA}$$ и $$\vec{n} = \vec{KF}$$, где K — произвольная точка, не лежащая на прямой EF. Так как точка A делит отрезок EF в отношении EA : AF = 2 : 5, то EA = (2/7)EF и AF = (5/7)EF. $$\vec{EF} = \vec{KF} - \vec{KE}$$, $$\vec{EA} = \vec{KA} - \vec{KE}$$ $$\vec{KA} - \vec{KE} = \frac{2}{5}(\vec{KF} - \vec{KA})$$ $$\vec{KA} - \vec{KE} = \frac{2}{7}\vec{EF}$$ => $$\vec{KE} = \vec{KA} - \frac{2}{7}\vec{EF}$$ $$\vec{KE} = \vec{KA} - \frac{2}{7}(\vec{KF} - \vec{KE})$$ => $$\frac{5}{7}\vec{KE} = \vec{KA} - \frac{2}{7}\vec{KF}$$ $$\vec{KE} = \frac{7}{5}\vec{KA} - \frac{2}{5}\vec{KF}$$ => $$\vec{KE} = \frac{7}{5}\vec{m} - \frac{2}{5}\vec{n}$$ Ответ: $$\vec{KE} = \frac{7}{5}\vec{m} - \frac{2}{5}\vec{n}$$. 2. Высота, проведённая из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит среднюю линию трапеции на отрезки, равные 2 см и 6 см. Найдите основания трапеции. Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, где BC и AD - основания, BM - высота, проведённая из вершины B к основанию AD. Пусть MN - средняя линия трапеции, где M и N - середины боковых сторон AB и CD соответственно. Высота BM делит среднюю линию MN на отрезки MP = 2 см и PN = 6 см. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований: MN = (BC + AD) / 2. MN = MP + PN = 2 + 6 = 8 см. Таким образом, (BC + AD) / 2 = 8, следовательно, BC + AD = 16 см. Так как BM - высота, проведённая из вершины тупого угла, то она делит основание AD на отрезки AM и MD. Точка P делит отрезок AM на две части. Так как трапеция равнобедренная, то AM = PN - MP = 6 - 2 = 4 см. AD = AM + MD, где MD = BC (свойство равнобедренной трапеции). Тогда AD = 4 + BC. Подставим это в уравнение BC + AD = 16: BC + 4 + BC = 16, следовательно, 2BC = 12, BC = 6 см. AD = 4 + 6 = 10 см. Ответ: Основания трапеции равны 6 см и 10 см. 9 класс, C-5, B-1 1. В прямоугольной системе координат постройте векторы $$\vec{a} = \{2; 0\}$$, $$\vec{b} = \{3; -2\}$$, $$\vec{c} = \{0; -2\}$$, $$\vec{d} = \{-1; -1\}$$. К сожалению, я не могу построить векторы, но вы можете сделать это самостоятельно, отметив соответствующие точки на координатной плоскости и соединив их с началом координат. 2. Найдите координаты векторов $$\vec{a} + \vec{b}$$, $$\vec{a} - \vec{b}$$, $$2\vec{a} + 3\vec{b}$$, если $$\vec{a} = \{3; -5\}$$ и $$\vec{b} = \{2; 3\}$$. * $$\vec{a} + \vec{b} = \{3+2; -5+3\} = \{5; -2\}$$. * $$\vec{a} - \vec{b} = \{3-2; -5-3\} = \{1; -8\}$$. * $$2\vec{a} + 3\vec{b} = \{2*3+3*2; 2*(-5)+3*3\} = \{6+6; -10+9\} = \{12; -1\}$$. Ответ: * $$\vec{a} + \vec{b} = \{5; -2\}$$. * $$\vec{a} - \vec{b} = \{1; -8\}$$. * $$2\vec{a} + 3\vec{b} = \{12; -1\}$$. 3. Векторы $$\vec{a} = \{3; -6\}$$ и $$\vec{b} = \{9; y\}$$ коллинеарны. Найдите число y. Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны. $$\frac{3}{9} = \frac{-6}{y}$$ $$3y = -6 * 9$$ $$3y = -54$$ $$y = -18$$ Ответ: y = -18. 9 класс, C-5, B-2 1. В прямоугольной системе координат постройте векторы $$\vec{m} = \{4; -1\}$$, $$\vec{c} = \{0; -3\}$$, $$\vec{d} = \{-1; -1\}$$ и $$\vec{n} = \{3; 0\}$$. К сожалению, я не могу построить векторы, но вы можете сделать это самостоятельно, отметив соответствующие точки на координатной плоскости и соединив их с началом координат. 2. Найдите координаты векторов $$\vec{m} + \vec{n}$$, $$\vec{m} - \vec{n}$$, $$3\vec{m} - 2\vec{n}$$, если $$\vec{m} = \{4; -2\}$$ и $$\vec{n} = \{5; 3\}$$. * $$\vec{m} + \vec{n} = \{4+5; -2+3\} = \{9; 1\}$$. * $$\vec{m} - \vec{n} = \{4-5; -2-3\} = \{-1; -5\}$$. * $$3\vec{m} - 2\vec{n} = \{3*4-2*5; 3*(-2)-2*3\} = \{12-10; -6-6\} = \{2; -12\}$$. Ответ: * $$\vec{m} + \vec{n} = \{9; 1\}$$. * $$\vec{m} - \vec{n} = \{-1; -5\}$$. * $$3\vec{m} - 2\vec{n} = \{2; -12\}$$. 3. Векторы $$\vec{m} = \{x; 10\}$$ и $$\vec{n} = \{-2; 5\}$$ коллинеарны. Найдите число x. Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны: $$\frac{x}{-2} = \frac{10}{5}$$ $$5x = -2 * 10$$ $$5x = -20$$ $$x = -4$$ Ответ: x = -4. 9 класс, C-6, B-1 1. На оси ординат найдите точку M (0; y), равноудалённую от точек A (-3; 5) и B (6; 4). Так как точка M лежит на оси ординат, её координаты (0; y). Расстояние от точки M до точки A равно расстоянию от точки M до точки B: MA = MB. $$MA = \sqrt{(-3 - 0)^2 + (5 - y)^2} = \sqrt{9 + (5 - y)^2}$$ $$MB = \sqrt{(6 - 0)^2 + (4 - y)^2} = \sqrt{36 + (4 - y)^2}$$ $$MA = MB$$ $$\sqrt{9 + (5 - y)^2} = \sqrt{36 + (4 - y)^2}$$ Возведём обе части в квадрат: $$9 + (5 - y)^2 = 36 + (4 - y)^2$$ $$9 + 25 - 10y + y^2 = 36 + 16 - 8y + y^2$$ $$34 - 10y + y^2 = 52 - 8y + y^2$$ $$-10y + 8y = 52 - 34$$ $$-2y = 18$$ $$y = -9$$ Ответ: M (0; -9). 2. Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, если M (1; 1), N (6; 1); P (7; 4), Q (2; 4). Чтобы доказать, что MNPQ - параллелограмм, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны и равны по длине. * $$\vec{MN} = \{6-1; 1-1\} = \{5; 0\}$$ * $$\vec{QP} = \{7-2; 4-4\} = \{5; 0\}$$ * $$\vec{MQ} = \{2-1; 4-1\} = \{1; 3\}$$ * $$\vec{NP} = \{7-6; 4-1\} = \{1; 3\}$$ Так как векторы $$\vec{MN}$$ и $$\vec{QP}$$ равны, то стороны MN и QP параллельны и равны. Так как векторы $$\vec{MQ}$$ и $$\vec{NP}$$ равны, то стороны MQ и NP параллельны и равны. Следовательно, MNPQ - параллелограмм. 3. Основания прямоугольной трапеции равны 6 см и 8 см, а высота 5 см. Найдите длину отрезка, соединяющего середины оснований трапеции. Пусть ABCD - прямоугольная трапеция, где AD и BC - основания (AD = 8 см, BC = 6 см), AB - высота (AB = 5 см). Пусть K - середина AD, L - середина BC. Нужно найти длину отрезка KL. Проведём отрезок LE параллельно AB (E лежит на AD). Тогда ABLE - прямоугольник, AE = BL = BC/2 = 3 см. ED = AD - AE = 8 - 3 = 5 см. Так как L - середина BC, то BL = LC = BC/2 = 3 см. Рассмотрим треугольник LED. Так как K - середина AD, то EK = ED/2 = 5/2 = 2.5 см. KL = AE = AB = 5 см. Значит, длина отрезка KL (соединяющего середины оснований трапеции) равна средней линии прямоугольника, которая соединяет боковые стороны. Средняя линия трапеции, соединяющая середины боковых сторон, равна полусумме оснований, то есть (6 + 8) / 2 = 7 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, проведенной из вершины C на основание AD. Один из катетов этого треугольника равен 5 см (высота трапеции), а другой катет равен разности оснований, то есть 8 - 6 = 2 см. Тогда по теореме Пифагора гипотенуза (боковая сторона трапеции) равна √(5² + 2²) = √29 см. Расстояние между серединами оснований является средней линией трапеции, параллельной боковым сторонам. То есть, отрезок соединяет середины оснований трапеции. Это расстояние можно найти, проведя перпендикуляр из середины одного основания к другому основанию. Тогда получится прямоугольный треугольник с катетами, равными половине разности оснований (1 см) и высоте трапеции (5 см). Тогда искомое расстояние равно √(1² + 5²) = √26 см. Длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 5 см. Ответ: 5 см.