Контрольная работа № 3. Функции и их свойства Вариант 2 1. Дана функция у = 6x - 7. При каких значениях аргумента f(x)=0, f(x) <0, f(x)>0? Является ли эта функция возрастающей или убывающей? Ответ объясните. 2. Найдите область определения функции: 1) y = √3-8x; 2) y = 3 6x2-5x+1 3. Постройте график функции у = х²-4х + 5. С помощью графика найдите: а) область определения и область значения; б) нули функции; в) промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания; д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются. 4. Каждый график соотнесите с соответствующей формулой 5. (Дополнительное задание). Найдите все значения к, при каждом из которых прямая у = kx имеет с графиком функции функции у = x² + 4 ровно одну общую точку. Найдите координаты этих точек.

1. Дана функция y = 6x - 7.

Для начала найдем, при каких значениях аргумента функция равна нулю, то есть f(x) = 0:

$$6x - 7 = 0$$ $$6x = 7$$ $$x = \frac{7}{6}$$

Теперь определим, при каких значениях аргумента функция меньше нуля, то есть f(x) < 0:

$$6x - 7 < 0$$ $$6x < 7$$ $$x < \frac{7}{6}$$

И, наконец, определим, при каких значениях аргумента функция больше нуля, то есть f(x) > 0:

$$6x - 7 > 0$$ $$6x > 7$$ $$x > \frac{7}{6}$$

Возрастающая или убывающая функция?

Функция y = 6x - 7 является возрастающей, так как коэффициент при x (то есть 6) положителен. Это означает, что с увеличением значения x значение y также увеличивается.

2. Найдите область определения функции:

1) $$y = \sqrt{3-8x}$$

Область определения функции – это все значения x, при которых функция имеет смысл. В данном случае, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$3 - 8x \geq 0$$ $$-8x \geq -3$$ $$x \leq \frac{3}{8}$$

Таким образом, область определения функции: $$(-\infty; \frac{3}{8}]$$

2) $$y = \frac{3}{6x^2 - 5x + 1}$$

Область определения данной функции – это все значения x, при которых знаменатель не равен нулю:

$$6x^2 - 5x + 1
eq 0$$

Решим квадратное уравнение, чтобы найти значения x, при которых знаменатель равен нулю:

$$6x^2 - 5x + 1 = 0$$

Найдем дискриминант:

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$$

Найдем корни:

$$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

$$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$

Значит, область определения функции: $$x
eq \frac{1}{2}$$ и $$x
eq \frac{1}{3}$$ или $$(-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$$.

3. Постройте график функции y = x² - 4x + 5. С помощью графика найдите:

Графиком функции y = x² - 4x + 5 является парабола.

Для построения графика найдем вершину параболы и несколько точек для построения.

Координаты вершины параболы: $$x_v = \frac{-b}{2a}$$, $$y_v = f(x_v)$$.

В данном случае a = 1, b = -4, c = 5.

$$x_v = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$$

$$y_v = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$$

Итак, вершина параболы имеет координаты (2; 1).

Теперь найдем несколько точек для построения графика:

• Если x = 0, то y = 0² - 4 × 0 + 5 = 5.
• Если x = 1, то y = 1² - 4 × 1 + 5 = 1 - 4 + 5 = 2.
• Если x = 3, то y = 3² - 4 × 3 + 5 = 9 - 12 + 5 = 2.
• Если x = 4, то y = 4² - 4 × 4 + 5 = 16 - 16 + 5 = 5.

а) область определения и область значения;

Область определения: Все действительные числа, то есть $$(-\infty; +\infty)$$.

Область значения: y ≥ 1, то есть $$[1; +\infty)$$.

б) нули функции;

Нули функции - это значения x, при которых y = 0. Решим уравнение x² - 4x + 5 = 0.

Дискриминант D = (-4)² - 4 × 1 × 5 = 16 - 20 = -4.

Так как дискриминант отрицательный, функция не имеет нулей.

в) промежутки знакопостоянства;

Так как функция не имеет нулей и ветви параболы направлены вверх (a > 0), функция всегда положительна, то есть y > 0 при всех x из области определения. Промежуток знакопостоянства: $$(-\infty; +\infty)$$.

г) промежутки возрастания и убывания;

Функция убывает на промежутке от $$(-\infty; 2]$$.

Функция возрастает на промежутке от $$[2; +\infty)$$.

д) наименьшее и наибольшее значения функции, если они имеются.

Наименьшее значение функции равно 1 (в вершине параболы).

Наибольшего значения функция не имеет, так как она возрастает до бесконечности.

4. Каждый график соотнесите с соответствующей формулой

• График А соответствует формуле 5) y = -x².
• График Б соответствует формуле 3) y = |x|.
• График В соответствует формуле 1) y = -1/x.

5. (Дополнительное задание). Найдите все значения k, при каждом из которых прямая y = kx имеет с графиком функции y = x² + 4 ровно одну общую точку. Найдите координаты этих точек.

Чтобы прямая y = kx имела с графиком функции y = x² + 4 ровно одну общую точку, нужно, чтобы уравнение x² + 4 = kx имело только одно решение.

Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения:

$$x^2 - kx + 4 = 0$$

Чтобы квадратное уравнение имело только одно решение, его дискриминант должен быть равен нулю.

Найдем дискриминант:

$$D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = k^2 - 16$$

Приравняем дискриминант к нулю:

$$k^2 - 16 = 0$$

$$k^2 = 16$$

k = ±4.

Теперь найдем координаты точек пересечения для каждого значения k.

1) k = 4

$$x^2 - 4x + 4 = 0$$

$$(x - 2)^2 = 0$$

$$x = 2$$

Подставим x = 2 в уравнение прямой:

$$y = 4 \cdot 2 = 8$$

Координаты точки: (2; 8).

2) k = -4

$$x^2 + 4x + 4 = 0$$

$$(x + 2)^2 = 0$$

$$x = -2$$

Подставим x = -2 в уравнение прямой:

$$y = -4 \cdot (-2) = 8$$

Координаты точки: (-2; 8).