Контрольная работа по теме: Элементы комбинаторики. Вариант 1 Этап 1 1. Написать формулу размещения 2. Написать формулу перестановки 3. Написать формулу сочетания Этап 11 1. Вычислить: а) 3! б) 5! 2. Найди значения выражения: а) )156) 101 3. Что больше: 6!*5 или 5!*6 4. В классе 25 учеников. Сколькими способами можно из них выбрать 4 учащихся для дежурства? 5. Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет? 6. Сколькими способами 8 человек могут встать в очередь в театральную кассу? 7. Учащимся дали список из 10 книг, которые нужно прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг? 8. В библиотеке читателю предложили на выбор 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала? 9. Сколько пятизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 0, 2, 5, 6, 7? Этап ІІІ 1. Сколькими способами могут сесть в автомобиль 5 человек, каждый из которых может быть водителем? 2. сколькими способами можно назначить патруль из 3 солдат и одного офицера, если имеется 15 солдат и 4 офицера? 3. Сколькими способами можно назначить караул из 3 человек, если в отряде имеется 40 солдат?

Этап I 1. Формула размещения: $$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$ 2. Формула перестановки: $$P_n = n!$$ 3. Формула сочетания: $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ Этап II 1. Вычислить: * а) $$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$$ * б) $$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$$ 2. Найди значения выражения: * a) К сожалению, выражение не распознано. Предположим, что это $$\frac{15!}{14!}$$. Тогда $$ \frac{15!}{14!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot 14 \cdot 15}{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot 14} = 15$$ * б) К сожалению, выражение не распознано. Предположим, что это $$\frac{8!}{10!}$$. Тогда $$ \frac{8!}{10!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot ... \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10} = \frac{1}{9 \cdot 10} = \frac{1}{90}$$ 3. Что больше: $$6! \cdot 5$$ или $$5! \cdot 6$$ $$6! \cdot 5 = 720 \cdot 5 = 3600$$ $$5! \cdot 6 = 120 \cdot 6 = 720$$ $$3600 > 720$$, значит, $$6! \cdot 5$$ больше. 4. В классе 25 учеников. Сколькими способами можно из них выбрать 4 учащихся для дежурства? Это сочетание из 25 по 4: $$C_{25}^4 = \frac{25!}{4!(25-4)!} = \frac{25!}{4!21!} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 25 \cdot 23 \cdot 22 = 12650$$ 5. Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет? Это размещение из 4 по 3: $$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$ 6. Сколькими способами 8 человек могут встать в очередь в театральную кассу? Это перестановка из 8: $$P_8 = 8! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 40320$$ 7. Учащимся дали список из 10 книг, которые нужно прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг? Это сочетание из 10 по 6: $$C_{10}^6 = \frac{10!}{6!(10-6)!} = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$$ 8. В библиотеке читателю предложили на выбор 10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них 3 книги и 2 журнала? Выбор 3 книг из 10: $$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$$ Выбор 2 журналов из 4: $$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$$ Общее количество способов: $$120 \cdot 6 = 720$$ 9. Сколько пятизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр 0, 2, 5, 6, 7? Всего есть 5 цифр. На первое место нельзя ставить 0, поэтому для первого места есть 4 варианта (2, 5, 6, 7). Для второго места остаётся тоже 4 варианта (включая 0 и исключая уже выбранную первую цифру). Для третьего места - 3 варианта, для четвёртого - 2, для пятого - 1. $$4 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 96$$ Этап III 1. Сколькими способами могут сесть в автомобиль 5 человек, каждый из которых может быть водителем? Предполагается, что любой из 5 человек может быть водителем. Тогда есть 5 вариантов для водителя. Оставшиеся 4 человека могут сесть на 4 места $$4!$$ способами. Итого $$5 \cdot 4! = 5 \cdot 24 = 120$$ 2. Сколькими способами можно назначить патруль из 3 солдат и одного офицера, если имеется 15 солдат и 4 офицера? Выбор 3 солдат из 15: $$C_{15}^3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 5 \cdot 7 \cdot 13 = 455$$ Выбор 1 офицера из 4: $$C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = 4$$ Общее количество способов: $$455 \cdot 4 = 1820$$ 3. Сколькими способами можно назначить караул из 3 человек, если в отряде имеется 40 солдат? Это сочетание из 40 по 3: $$C_{40}^3 = \frac{40!}{3!(40-3)!} = \frac{40!}{3!37!} = \frac{40 \cdot 39 \cdot 38}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \cdot 13 \cdot 38 = 9880$$