Контрольная работа по теме «Перпендикулярность в пространстве» Вариант 9 № 1 Перекладина длиной 10 м. своими концами лежит на двух вертикальных столбах высотой 11 м. и 17 м. Каково расстояние между основаниями столбов. No 2 Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 29 см. и 27 см. Сумма проекций наклонных равна 28 см. Найдите проекции наклонных. № 3 Из вершины С квадрата ABCD проведен перпендикуляр СМ к плоскости квадрата. Вычислите площадь треугольника МАВ, если MC=7 см., AD = 4√2 см. № 4 Точка Е находится на расстоянии 16 см. от плоскости. Найдите длину наклонной, проведенной из этой точки к плоскости под углом 30°.

Решим задачи по геометрии: 1. Пусть расстояние между основаниями столбов равно $$x$$. Высоты столбов 11 м и 17 м. Длина перекладины 10 м. Тогда можно составить уравнение, используя теорему Пифагора: $$x^2 + (17-11)^2 = 10^2$$ $$x^2 + 6^2 = 100$$ $$x^2 + 36 = 100$$ $$x^2 = 64$$ $$x = 8$$ Расстояние между основаниями столбов равно 8 м. 2. Пусть $$x$$ и $$y$$ – проекции наклонных. Тогда $$x + y = 28$$. Длины наклонных 29 см и 27 см. По теореме Пифагора: $$29^2 - x^2 = 27^2 - y^2$$ $$841 - x^2 = 729 - (28 - x)^2$$ $$841 - x^2 = 729 - (784 - 56x + x^2)$$ $$841 - x^2 = 729 - 784 + 56x - x^2$$ $$841 = -55 + 56x$$ $$56x = 896$$ $$x = 16$$ $$y = 28 - 16 = 12$$ Проекции наклонных равны 16 см и 12 см. 3. $$MC = 7$$ см, $$AD = 4\sqrt{2}$$ см. $$AD$$ - сторона квадрата. Тогда площадь квадрата $$ABCD$$ равна: $$S_{ABCD} = AD^2 = (4\sqrt{2})^2 = 16 \cdot 2 = 32 ext{см}^2$$ Так как $$CM$$ перпендикулярна плоскости квадрата, то $$CM$$ перпендикулярна $$AM$$ и $$BM$$. Треугольники $$AMC$$ и $$BMC$$ прямоугольные. Так как $$ABCD$$ - квадрат, то $$AC = BD = AD\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 8$$ см. Тогда $$AM = BM = \sqrt{AC^2 + MC^2} = \sqrt{8^2 + 7^2} = \sqrt{64 + 49} = \sqrt{113}$$ см. Площадь треугольника $$MAB$$ равна: $$S_{MAB} = \frac{1}{2} cdot AB cdot h$$ где $$h$$ - высота треугольника, опущенная из точки $$M$$ на сторону $$AB$$. Так как $$AB = AD = 4\sqrt{2}$$, то $$h = \sqrt{AM^2 - (AB/2)^2} = \sqrt{113 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{113 - 8} = \sqrt{105}$$ $$S_{MAB} = \frac{1}{2} cdot 4\sqrt{2} cdot \sqrt{105} = 2\sqrt{210} ext{см}^2$$ Площадь треугольника $$MAB$$ равна 2$$\sqrt{210}$$ см$$^2$$. 4. Точка $$E$$ находится на расстоянии 16 см от плоскости. Угол между наклонной и плоскостью равен 30°. Пусть длина наклонной равна $$x$$. Тогда: $$\sin{30^\circ} = \frac{16}{x}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{16}{x}$$ $$x = 32$$ Длина наклонной равна 32 см.