Контрольная работа «Повторение: Сечение многогранника, плошадь сечения» 1 вариант 1. Изобразите сечение куба А...D1, ребро которого равно 2 и проходящее через середины ребер АА), ВВ1, В.С. Найдите площадь сечения. 2. Изобразите сечение правильной треугольной призмы АВСА1В1С1, все ребра которой равны 3, проходящее через вершины А, В1 и С1. Найдите его плошадь. 3. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы ABCDABCD все ребра которой равны 2, проходящее через вершины А, С и С1. Найдите его плошадь.

Для решения этих задач потребуется знание геометрии, в частности, умение строить сечения многогранников и находить их площади.

1. Сечение куба:

Сечение проходит через середины ребер AA1, BB1 и BC. Это означает, что сечение представляет собой многоугольник, образованный точками на этих ребрах. Предположим, что куб - $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, и ребро куба равно $$a = 2$$.

Сечение будет проходить через середину $$AA_1$$ (назовем её $$M$$), середину $$BB_1$$ (назовем её $$N$$) и середину $$BC$$ (назовем её $$K$$).

Соединив точки $$M$$, $$N$$ и $$K$$, получим треугольник $$MNK$$. Площадь этого треугольника и будет площадью сечения.

Найдем длины сторон треугольника $$MNK$$. $$MN = sqrt{(A_1M)^2} = 2$$, $$NK = sqrt{1^2 + 1^2} = sqrt{2}$$, $$MK = sqrt{1 + 1 + 1} = sqrt{3}$$

Площадь треугольника $$MNK$$ можно найти, используя формулу Герона или заметив, что это прямоугольный треугольник. Поскольку $$MN = 1$$ и $$NK = \sqrt{2}$$, а $$MK = \sqrt{3}$$, то $$MN^2 + NK^2
eq MK^2$$.

Если сечение проходит через середины $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$B_1C_1$$, то получаем треугольник. Стороны треугольника равны $$\sqrt{2}$$, $$\sqrt{2}$$ и 2. Площадь равна $$\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = 1$$.

Ответ: Площадь сечения равна 1.

2. Сечение треугольной призмы:

Дана правильная треугольная призма $$ABCA_1B_1C_1$$, все ребра которой равны 3. Сечение проходит через вершины $$A$$, $$B_1$$ и $$C_1$$. Таким образом, сечение представляет собой треугольник $$AB_1C_1$$.

Так как призма правильная, а все ее ребра равны 3, то $$AB_1 = AC_1 = B_1C_1 = 3\sqrt{2}$$.

Треугольник $$AB_1C_1$$ - равносторонний. Площадь равностороннего треугольника со стороной $$a$$ вычисляется по формуле: $$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$.

В нашем случае $$a = 3\sqrt{2}$$, поэтому $$S = \frac{(3\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{18 \sqrt{3}}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$$.

Ответ: Площадь сечения равна $$\frac{9\sqrt{3}}{2}$$.

3. Сечение шестиугольной призмы:

Дана правильная шестиугольная призма $$ABCDA_1B_1C_1D_1E_1F_1$$, все ребра которой равны 2. Сечение проходит через вершины $$A$$, $$C$$ и $$C_1$$. Сечение представляет собой трапецию $$ACC_1A_1$$.

Длины сторон: $$AC = 2\sqrt{3}$$, $$CC_1 = 2$$.

Площадь сечения равна площади прямоугольника со сторонами $$AC$$ и $$CC_1$$: $$S = AC \cdot CC_1 = 2\sqrt{3} \cdot 2 = 4\sqrt{3}$$.

Ответ: Площадь сечения равна $$4\sqrt{3}$$.