Контрольные вопросы и задания 1 Сформулируйте определение степени числа с натуральным показателем. Приведите примеры и назовите в каждом из них основание и показатель степени. 2 Сформулируйте и докажите основное свойство степени. 3 Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Представьте в виде степени произведение 12⋅12³⋅12⁶. 4 Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Представьте в виде степени частное 5,7⁶ : 5,7³. 5 Дайте определение степени числа с нулевым показателем. 6 Сформулируйте правило возведения в степень произведения, правило возведения в степень степени. Представьте в виде степени выражение: (5ab)²; (a³)⁶; y⁴⋅(y²)⁶.

1. Сформулируйте определение степени числа с натуральным показателем. Приведите примеры и назовите в каждом из них основание и показатель степени. Степенью числа $$a$$ с натуральным показателем $$n$$ называется произведение $$n$$ множителей, каждый из которых равен $$a$$. То есть, $$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \text{ раз}}$$ Пример 1: $$2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$$. Здесь 2 – основание степени, 3 – показатель степени. Пример 2: $$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$$. Здесь 5 – основание степени, 2 – показатель степени. Пример 3: $$10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$$. Здесь 10 – основание степени, 4 – показатель степени. 2. Сформулируйте и докажите основное свойство степени. Основное свойство степени: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся тем же. $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ Доказательство: $$a^m \cdot a^n = \underbrace{(a \cdot a \cdot ... \cdot a)}_{m \text{ раз}} \cdot \underbrace{(a \cdot a \cdot ... \cdot a)}_{n \text{ раз}} = \underbrace{a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{m+n \text{ раз}} = a^{m+n}$$ 3. Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Представьте в виде степени произведение $$12 \cdot 12^3 \cdot 12^6$$. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основание остаётся тем же. $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ Представим произведение $$12 \cdot 12^3 \cdot 12^6$$ в виде степени: $$12 \cdot 12^3 \cdot 12^6 = 12^1 \cdot 12^3 \cdot 12^6 = 12^{1+3+6} = 12^{10}$$ 4. Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми основаниями. Представьте в виде степени частное $$5,7^6 : 5,7^3$$. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя, а основание остаётся тем же. $$a^m : a^n = a^{m-n}$$ Представим частное $$5,7^6 : 5,7^3$$ в виде степени: $$5,7^6 : 5,7^3 = 5,7^{6-3} = 5,7^3$$ 5. Дайте определение степени числа с нулевым показателем. Степенью числа $$a$$, не равного нулю, с нулевым показателем называется число 1. То есть, если $$a
eq 0$$, то $$a^0 = 1$$ 6. Сформулируйте правило возведения в степень произведения, правило возведения в степень степени. Представьте в виде степени выражение: $$(5ab)^2$$; $$(a^3)^6$$; $$y^4 \cdot (y^2)^6$$. Правило возведения в степень произведения: чтобы возвести произведение в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень и результаты перемножить. $$(ab)^n = a^n \cdot b^n$$ Правило возведения степени в степень: чтобы возвести степень в степень, нужно показатели перемножить, а основание оставить тем же. $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$ Представим выражения в виде степени: $$(5ab)^2 = 5^2 \cdot a^2 \cdot b^2 = 25a^2b^2$$ $$(a^3)^6 = a^{3 \cdot 6} = a^{18}$$ $$y^4 \cdot (y^2)^6 = y^4 \cdot y^{2 \cdot 6} = y^4 \cdot y^{12} = y^{4+12} = y^{16}$$