2. На боковых сторонах равнобедренного треугольника АВС отложены равные отрезки ВМ и BN. BD – медиана треугольника. Докажите, что MD = ND. 3. В треугольниках АВС и А1В1C1 AB = A1B1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1. Точки D и D₁ лежат соответственно на сторонах АС и А1С1, причем CD = C1D1. Докажите, что ABDC = AB1D1C1. Cравните отрезки BD и B1D1.

2.

Дано: треугольник ABC равнобедренный, BM = BN, BD - медиана.

Доказать: MD = ND.

Доказательство:

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC и ∠A = ∠C.

По условию, BM = BN. Тогда AM = AB - BM = BC - BN = NC.

BD - медиана, значит, AD = DC.

Рассмотрим треугольники AMD и CND.

1) AM = NC (доказано выше).

2) ∠A = ∠C (как углы при основании равнобедренного треугольника).

3) AD = DC (так как BD - медиана).

Следовательно, треугольник AMD = треугольнику CND по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что MD = ND.

Что и требовалось доказать.

3.

Дано: треугольники ABC и A1B1C1, AB = A1B1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, CD = C1D1.

Доказать: ΔBDC = ΔB1D1C1.

Сравнить отрезки BD и B1D1.

Доказательство:

Так как AB = A1B1, ∠A = ∠A1, ∠B = ∠B1, то треугольник ABC = треугольнику A1B1C1 по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует, что AC = A1C1 и BC = B1C1.

По условию, CD = C1D1. Тогда AD = AC - CD = A1C1 - C1D1 = A1D1.

Рассмотрим треугольники BDC и B1D1C1.

1) BC = B1C1 (из равенства треугольников ABC и A1B1C1).

2) ∠C = ∠C1 (из равенства треугольников ABC и A1B1C1).

3) CD = C1D1 (по условию).

Следовательно, треугольник BDC = треугольнику B1D1C1 по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников BDC и B1D1C1 следует, что BD = B1D1.