143 На рисунке 81 AB = CD и BD = АС. Докажите, что: a) ∠CAD = ∠ADB; 6) ∠BAC = ∠CDB. 144 На рисунке 82 АВ = CD, AD = ВС, ВЕ — биссектриса угла АВС, а DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что: a) ∠ABE = ∠ADF; б) ДАВЕ = △CDF.

Решим задачи по геометрии. 143 a) Дано: AB = CD, BD = AC (см. рисунок 81). Доказать: ∠CAD = ∠ADB. Доказательство: Рассмотрим треугольники АВD и CDA. У них: AB = CD (по условию), BD = AC (по условию), AD – общая сторона. Следовательно, треугольники АВD и CDA равны по трем сторонам (III признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠CAD = ∠ADB, что и требовалось доказать. б) Дано: AB = CD, BD = AC (см. рисунок 81). Доказать: ∠BAC = ∠CDB. Доказательство: Из доказательства пункта а) следует, что ∆АВD = ∆CDA. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠BAC = ∠CDB, что и требовалось доказать. 144 a) Дано: АВ = CD, AD = ВС, ВЕ – биссектриса угла АВС, DF – биссектриса угла ADC (см. рисунок 82). Доказать: ∠ABE = ∠ADF. Доказательство: Рассмотрим треугольники АВC и CDA. У них: AB = CD (по условию), BC = AD (по условию), AC – общая сторона. Следовательно, треугольники АВC и CDA равны по трем сторонам (III признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ABC = ∠ADC. Так как ВЕ и DF – биссектрисы углов АВС и ADC соответственно, то ∠ABE = 1/2 ∠ABC и ∠ADF = 1/2 ∠ADC. Значит, ∠ABE = ∠ADF, что и требовалось доказать. б) Дано: АВ = CD, AD = ВС, ВЕ – биссектриса угла АВС, DF – биссектриса угла ADC (см. рисунок 82). Доказать: ∆ABE = ∆CDF. Доказательство: AB = CD (по условию), ∠ABE = ∠CDF (из доказательства пункта а)), Из равенства треугольников АВC и CDA следует равенство соответствующих сторон: АE = CF. Следовательно, треугольники АВE и CDF равны по двум сторонам и углу между ними (I признак равенства треугольников), что и требовалось доказать.