144 На рисунке 82 AB=CD, AD = BC, ВЕ — биссектриса угла ABC, а DF - биссектриса угла ADC. Докажите, что: a) ∠ABE = ∠ADF; б) ΔΑΒΕ = ACDF.

Для решения этой задачи необходимо доказать равенство треугольников ABE и ADF. а) Доказательство ∠ABE = ∠ADF Из условия задачи известно: 1. $$AB = CD$$ 2. $$AD = BC$$ 3. $$BE$$ - биссектриса угла $$ABC$$ 4. $$DF$$ - биссектриса угла $$ADC$$ Доказательство: * Рассмотрим четырехугольник $$ABCD$$. Так как $$AB = CD$$ и $$AD = BC$$, то $$ABCD$$ - параллелограмм (по признаку параллелограмма, если противоположные стороны попарно равны, то это параллелограмм). * В параллелограмме противоположные углы равны: $$\angle ABC = \angle ADC$$. * Так как $$BE$$ и $$DF$$ - биссектрисы углов $$ABC$$ и $$ADC$$ соответственно, то $$\angle ABE = \frac{1}{2} \angle ABC$$ и $$\angle ADF = \frac{1}{2} \angle ADC$$. * Следовательно, $$\angle ABE = \angle ADF$$. Что и требовалось доказать. б) Доказательство ΔΑΒΕ = ACDF * Рассмотрим треугольники $$ABE$$ и $$CDF$$. * $$AB = CD$$ (по условию). * $$\angle ABE = \angle CDF$$ (доказано в пункте а). * $$BC = AD$$ (по условию). * Тогда $$\angle AEB = 180^\circ - \angle A - \angle ABE$$ и $$\angle CFD = 180^\circ - \angle C - \angle CDF$$. * Т.к. $$\angle A = \angle C$$ (как противоположные углы параллелограмма) и $$\angle ABE = \angle CDF$$, то $$\angle AEB = \angle CFD$$. * Рассмотрим треугольники $$ABE$$ и $$CDF$$: * $$AB = CD$$ (по условию). * $$\angle ABE = \angle CDF$$ (доказано выше). * $$\angle AEB = \angle CFD$$ (доказано выше). * Следовательно, $$ΔΑΒΕ = ACDF$$ (по стороне и двум прилежащим углам).