Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
1. На рисунке задан график зависимости координаты тела от времени. Определите амплитуду, период, частоту колебаний, циклическую частоту колебаний (обозначение, значение, единицы измерения). Запишите уравнение зависимости координаты от времени. Если учили производные, то найдите уравнение скорости от времени, как первую производную от координаты. Начальная фаза равна нулю.
Ответ:
- Амплитуда (A) – это максимальное отклонение от положения равновесия. На графике видно, что максимальное отклонение составляет 3 см. Единица измерения: сантиметры (см).
- Период (T) – это время одного полного колебания. На графике видно, что одно полное колебание происходит за 4 секунды. Единица измерения: секунды (с).
-
Частота ($$
u$$) – это количество колебаний в единицу времени. Она равна обратной величине периода: $$
u = \frac{1}{T} = \frac{1}{4} = 0.25 \text{ Гц}$$. Единица измерения: герцы (Гц). -
Циклическая частота ($$\omega$$) – это частота, выраженная в радианах в секунду. Она связана с частотой соотношением: $$\omega = 2 \pi
u = 2 \pi \cdot 0.25 = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \text{ рад/с}$$. Единица измерения: радианы в секунду (рад/с). - Уравнение зависимости координаты от времени имеет вид: $$x(t) = A \cos(\omega t + \varphi_0)$$, где $$A$$ – амплитуда, $$\omega$$ – циклическая частота, $$\varphi_0$$ – начальная фаза. В данном случае $$A = 3 \text{ см}$$, $$\omega = \frac{\pi}{2} \text{ рад/с}$$, $$\varphi_0 = 0$$. Следовательно, уравнение колебаний: $$x(t) = 3 \cos(\frac{\pi}{2} t) \text{ см}$$.
- Уравнение скорости от времени – это первая производная от уравнения координаты по времени: $$v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \varphi_0)$$. В данном случае: $$v(t) = -3 \cdot \frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2} t) = -\frac{3\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2} t) \text{ см/с}$$.
