104 На сторонах угла CAD отмечены точки В и Е так, что точка В лежит на отрезке АС, а точка Е на отрезке AD, причём AC = AD и АВ = АЕ. Докажите, что ∠CBD = ∠DEC.

Для доказательства равенства углов ∠CBD и ∠DEC рассмотрим треугольники ABD и ACE.

1) AC = AD (дано)

2) AB = AE (дано)

3) ∠CAD – общий.

Следовательно, треугольники ABD и ACE равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов и сторон: ∠ABD = ∠AEC и BD = CE.

Теперь рассмотрим треугольники CBD и DEC.

1) Так как AC = AD и AB = AE, то BC = AC - AB = AD - AE = DE.

2) BD = CE (из равенства треугольников ABD и ACE).

3) ∠ABD = ∠AEC (из равенства треугольников ABD и ACE).

Следовательно, треугольники CBD и DEC равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников CBD и DEC следует равенство соответствующих углов: ∠CBD = ∠DEC, что и требовалось доказать.