1. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки: a) A(-4;1) B(2;5) б) C(3;-1) D(5;2) 2. Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если a) M(2;-1) N(6;-5) б) M(3;-4) N(-5;6) 3. Даны векторы \(\vec{a}\){3;4}, \(\vec{b}\){6;-8}, \(\vec{c}\){1;5}. Найдите координаты вектора \(\vec{p}\), если: a) \(\vec{p} = 2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}\) б) \(\vec{s} = \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}\) и длину вектора \(\vec{p}\) и длину вектора \(\vec{s}\)?

Уравнение прямой, проходящей через две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), имеет вид: $$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$$ В нашем случае, \((x_1, y_1) = (-4, 1)\) и \((x_2, y_2) = (2, 5)\). Подставим эти значения в уравнение: $$\frac{y - 1}{5 - 1} = \frac{x - (-4)}{2 - (-4)}$$ $$\frac{y - 1}{4} = \frac{x + 4}{6}$$ $$6(y - 1) = 4(x + 4)$$ $$6y - 6 = 4x + 16$$ $$6y = 4x + 22$$ $$y = \frac{2}{3}x + \frac{11}{3}$$

В нашем случае, \((x_1, y_1) = (3, -1)\) и \((x_2, y_2) = (5, 2)\). Подставим эти значения в уравнение: $$\frac{y - (-1)}{2 - (-1)} = \frac{x - 3}{5 - 3}$$ $$\frac{y + 1}{3} = \frac{x - 3}{2}$$ $$2(y + 1) = 3(x - 3)$$ $$2y + 2 = 3x - 9$$ $$2y = 3x - 11$$ $$y = \frac{3}{2}x - \frac{11}{2}$$

Уравнение окружности с центром \((x_0, y_0)\) и радиусом \(r\) имеет вид: $$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$$ Координаты центра окружности, являющегося серединой отрезка MN, найдем по формуле: $$x_0 = \frac{x_M + x_N}{2}, y_0 = \frac{y_M + y_N}{2}$$ $$x_0 = \frac{2 + 6}{2} = 4, y_0 = \frac{-1 + (-5)}{2} = -3$$ Центр окружности: \((4, -3)\). Радиус окружности равен половине длины диаметра MN. Найдем длину MN: $$MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} = \sqrt{(6 - 2)^2 + (-5 - (-1))^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$ Радиус окружности: \(r = \frac{MN}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\). Тогда уравнение окружности имеет вид: $$(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = (2\sqrt{2})^2$$ $$(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 8$$

Координаты центра окружности, являющегося серединой отрезка MN, найдем по формуле: $$x_0 = \frac{x_M + x_N}{2}, y_0 = \frac{y_M + y_N}{2}$$ $$x_0 = \frac{3 + (-5)}{2} = -1, y_0 = \frac{-4 + 6}{2} = 1$$ Центр окружности: \((-1, 1)\). Радиус окружности равен половине длины диаметра MN. Найдем длину MN: $$MN = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2} = \sqrt{(-5 - 3)^2 + (6 - (-4))^2} = \sqrt{(-8)^2 + (10)^2} = \sqrt{64 + 100} = \sqrt{164}$$ Радиус окружности: \(r = \frac{MN}{2} = \frac{\sqrt{164}}{2} = \sqrt{41}\). Тогда уравнение окружности имеет вид: $$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = (\sqrt{41})^2$$ $$(x + 1)^2 + (y - 1)^2 = 41$$

Для нахождения координат вектора \(\vec{p}\) выполним следующие действия: $$\vec{p} = 2(3; 4) - (6; -8) + (1; 5) = (6; 8) - (6; -8) + (1; 5) = (6 - 6 + 1; 8 - (-8) + 5) = (1; 8 + 8 + 5) = (1; 21)$$ Длина вектора \(\vec{p}\) равна: $$|\vec{p}| = \sqrt{1^2 + 21^2} = \sqrt{1 + 441} = \sqrt{442}$$

Для нахождения координат вектора \(\vec{s}\) выполним следующие действия: $$\vec{s} = (3; 4) - (6; -8) - (1; 5) = (3 - 6 - 1; 4 - (-8) - 5) = (3 - 6 - 1; 4 + 8 - 5) = (-4; 7)$$ Длина вектора \(\vec{s}\) равна: $$|\vec{s}| = \sqrt{(-4)^2 + 7^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$$