Найди градусную меру угла \( \angle TRG \), если дуга \( \stackrel{\frown}{RG} = 104^{\circ} \), а отношение дуги \( \stackrel{\frown}{RT} \) к дуге \( \stackrel{\frown}{TG} \) равно 5:3.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах углов, вписанных в окружность, и градусных мерах дуг. 1. Определение вписанного угла: Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным углом. 2. Свойство вписанного угла: Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. 3. Полная окружность: Полная окружность содержит 360°. Дано: - \( \stackrel{\frown}{RG} = 104^{\circ} \) - \( \stackrel{\frown}{RT} : \stackrel{\frown}{TG} = 5 : 3 \) Пусть \( \stackrel{\frown}{RT} = 5x \) и \( \stackrel{\frown}{TG} = 3x \). Мы знаем, что сумма дуг \( \stackrel{\frown}{RG} \), \( \stackrel{\frown}{RT} \) и \( \stackrel{\frown}{TG} \) составляет полную окружность, то есть 360°. Следовательно: \[ \stackrel{\frown}{RG} + \stackrel{\frown}{RT} + \stackrel{\frown}{TG} = 360^{\circ} \] \[ 104^{\circ} + 5x + 3x = 360^{\circ} \] \[ 8x = 360^{\circ} - 104^{\circ} \] \[ 8x = 256^{\circ} \] \[ x = \frac{256^{\circ}}{8} \] \[ x = 32^{\circ} \] Теперь найдем градусные меры дуг \( \stackrel{\frown}{RT} \) и \( \stackrel{\frown}{TG} \): \[ \stackrel{\frown}{RT} = 5x = 5 \cdot 32^{\circ} = 160^{\circ} \] \[ \stackrel{\frown}{TG} = 3x = 3 \cdot 32^{\circ} = 96^{\circ} \] Угол \( \angle TRG \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( \stackrel{\frown}{TG} \). Следовательно, его градусная мера равна половине градусной меры дуги \( \stackrel{\frown}{TG} \): \[ \angle TRG = \frac{1}{2} \cdot \stackrel{\frown}{TG} = \frac{1}{2} \cdot 96^{\circ} = 48^{\circ} \] Ответ: 48