Найди площадь полной поверхности и объем прямой призмы.

Решение:

Будем находить площадь полной поверхности (S_полн) и объем (V) для каждой призмы.

а) Прямоугольный параллелепипед

Размеры: длина = 9 мм, ширина = 9 мм, высота = 9 мм. Это куб.

Площадь полной поверхности куба:

Формула: S_полн = 6 * a², где a — длина ребра.

\[ S_{полн} = 6 \times 9^2 = 6 \times 81 = 486 \text{ мм}^2 \]

Объем куба:

Формула: V = a³

\[ V = 9^3 = 729 \text{ мм}^3 \]

б) Прямоугольный параллелепипед

Размеры: длина = 15 см, ширина = 6 см, высота = 10 см.

Площадь полной поверхности:

Формула: S_полн = 2 * (ab + bc + ac), где a, b, c — размеры.

\[ S_{полн} = 2 \times (15 \times 6 + 6 \times 10 + 15 \times 10) \]

\[ S_{полн} = 2 \times (90 + 60 + 150) \]

\[ S_{полн} = 2 \times 300 = 600 \text{ см}^2 \]

Объем:

Формула: V = a * b * c

\[ V = 15 \times 6 \times 10 = 900 \text{ см}^3 \]

в) Треугольная призма

Основание — прямоугольный треугольник с катетами 7,5 см и 4 см. Высота призмы — 12 см.

Площадь основания (S_осн):

\[ S_{осн} = \frac{1}{2} \times 7.5 \times 4 = 15 \text{ см}^2 \]

Периметр основания (P_осн):

Сначала найдем гипотенузу (c) по теореме Пифагора: c² = 7.5² + 4² = 56.25 + 16 = 72.25. Значит, c = \(\sqrt{72.25}\) = 8.5 см.

\[ P_{осн} = 7.5 + 4 + 8.5 = 20 \text{ см} \]

Площадь боковой поверхности (S_бок):

Формула: S_бок = P_осн * h, где h — высота призмы.

\[ S_{бок} = 20 \times 12 = 240 \text{ см}^2 \]

Площадь полной поверхности:

Формула: S_полн = S_бок + 2 * S_осн

\[ S_{полн} = 240 + 2 \times 15 = 240 + 30 = 270 \text{ см}^2 \]

Объем:

Формула: V = S_осн * h

\[ V = 15 \times 12 = 180 \text{ см}^3 \]

г) Треугольная призма

Основание — прямоугольный треугольник с катетами 8 м и 10 м. Высота призмы — 12 м.

Площадь основания (S_осн):

\[ S_{осн} = \frac{1}{2} \times 8 \times 10 = 40 \text{ м}^2 \]

Периметр основания (P_осн):

Найдем гипотенузу (c): c² = 8² + 10² = 64 + 100 = 164. Значит, c = \(\sqrt{164}\) \(\approx\) 12.81 м.

\[ P_{осн} = 8 + 10 + \sqrt{164} \approx 30.81 \text{ м} \]

Площадь боковой поверхности (S_бок):

\[ S_{бок} = P_{осн} \times h = (8 + 10 + \sqrt{164}) \times 12 \approx 30.81 \times 12 \approx 369.72 \text{ м}^2 \]

Площадь полной поверхности:

\[ S_{полн} = S_{бок} + 2 \times S_{осн} \approx 369.72 + 2 \times 40 \approx 369.72 + 80 \approx 449.72 \text{ м}^2 \]

Объем:

\[ V = S_{осн} \times h = 40 \times 12 = 480 \text{ м}^3 \]

Ответ:

• а) S_полн = 486 мм², V = 729 мм³
• б) S_полн = 600 см², V = 900 см³
• в) S_полн = 270 см², V = 180 см³
• г) S_полн ≈ 449.72 м², V = 480 м³