250. Найдите дисперсию случайной величины: б) $$X \sim \begin{pmatrix} 5 & 7 & 9 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{6} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$;

Для нахождения дисперсии случайной величины, заданной дискретным распределением, воспользуемся формулой: $$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2$$ где $$M(X)$$ – математическое ожидание случайной величины X, а $$M(X^2)$$ – математическое ожидание квадрата случайной величины X. Сначала найдем математическое ожидание $$M(X)$$: $$M(X) = 5 \cdot \frac{1}{3} + 7 \cdot \frac{1}{6} + 9 \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{3} + \frac{7}{6} + \frac{9}{2} = \frac{10}{6} + \frac{7}{6} + \frac{27}{6} = \frac{44}{6} = \frac{22}{3}$$ Теперь найдем математическое ожидание квадрата случайной величины $$M(X^2)$$: $$M(X^2) = 5^2 \cdot \frac{1}{3} + 7^2 \cdot \frac{1}{6} + 9^2 \cdot \frac{1}{2} = 25 \cdot \frac{1}{3} + 49 \cdot \frac{1}{6} + 81 \cdot \frac{1}{2} = \frac{25}{3} + \frac{49}{6} + \frac{81}{2} = \frac{50}{6} + \frac{49}{6} + \frac{243}{6} = \frac{342}{6} = 57$$ Теперь найдем дисперсию $$D(X)$$: $$D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 57 - \left(\frac{22}{3}\right)^2 = 57 - \frac{484}{9} = \frac{513}{9} - \frac{484}{9} = \frac{29}{9}$$ Таким образом, дисперсия случайной величины X равна $$\frac{29}{9}$$. Ответ: $$\frac{29}{9}$$