7. Найдите корни уравнения $$2\left(\frac{1}{x^2} + x\right) - \frac{1}{x} = 7.$$

Для решения этого уравнения, сделаем замену: $$t = \frac{1}{x}.$$ Тогда уравнение примет вид: $$2(t^2 + x) - t = 7.$$ Чтобы выразить $$x$$ через $$t$$, заметим, что $$x = \frac{1}{t}.$$ Подставим это в уравнение: $$2(t^2 + \frac{1}{t}) - t = 7.$$ $$2t^2 + \frac{2}{t} - t = 7.$$ Умножим обе части на $$t$$, чтобы избавиться от дроби: $$2t^3 + 2 - t^2 = 7t.$$ $$2t^3 - t^2 - 7t + 2 = 0.$$ Теперь попробуем найти рациональный корень этого кубического уравнения. По теореме о рациональных корнях, если у кубического уравнения с целыми коэффициентами есть рациональные корни, то они являются делителями свободного члена, деленными на делители старшего коэффициента. Делители числа 2: $$\pm 1, \pm 2$$. Делители числа 2: $$\pm 1, \pm 2$$. Попробуем $$t = 2$$: $$2(2)^3 - (2)^2 - 7(2) + 2 = 2(8) - 4 - 14 + 2 = 16 - 4 - 14 + 2 = 0.$$ Значит, $$t = 2$$ является корнем уравнения. Тогда мы можем разделить кубический многочлен на $$(t - 2)$$. Выполним деление столбиком или по схеме Горнера. В результате деления получаем: $$2t^3 - t^2 - 7t + 2 = (t - 2)(2t^2 + 3t - 1) = 0.$$ Итак, $$t = 2$$ или $$2t^2 + 3t - 1 = 0$$. Решим квадратное уравнение: $$2t^2 + 3t - 1 = 0.$$ Дискриминант: $$D = 3^2 - 4(2)(-1) = 9 + 8 = 17.$$ Корни: $$t_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{4}.$$ Теперь найдем значения $$x$$: 1. Если $$t = 2$$, то $$x = \frac{1}{2}.$$ 2. Если $$t = \frac{-3 + \sqrt{17}}{4},$$ то $$x = \frac{4}{-3 + \sqrt{17}} = \frac{4(-3 - \sqrt{17})}{(-3 + \sqrt{17})(-3 - \sqrt{17})} = \frac{4(-3 - \sqrt{17})}{9 - 17} = \frac{4(-3 - \sqrt{17})}{-8} = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}.$$ 3. Если $$t = \frac{-3 - \sqrt{17}}{4},$$ то $$x = \frac{4}{-3 - \sqrt{17}} = \frac{4(-3 + \sqrt{17})}{(-3 - \sqrt{17})(-3 + \sqrt{17})} = \frac{4(-3 + \sqrt{17})}{9 - 17} = \frac{4(-3 + \sqrt{17})}{-8} = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}.$$ Таким образом, корни уравнения: $$x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \quad x_3 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}.$$ Ответ: $$x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \quad x_3 = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}.$$