243. Найдите корни уравнения: б) (x+1/x-3)^2 + 18(x-3/x+1)^2 = 11.

Решим уравнение:

$$(\frac{x+1}{x-3})^2 + 18(\frac{x-3}{x+1})^2 = 11$$

Пусть $$t = (\frac{x+1}{x-3})^2$$, тогда уравнение примет вид:

$$t + \frac{18}{t} = 11$$

$$t^2 - 11t + 18 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = (-11)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 121 - 72 = 49$$

$$t_1 = \frac{11 + \sqrt{49}}{2} = \frac{11 + 7}{2} = 9$$

$$t_2 = \frac{11 - \sqrt{49}}{2} = \frac{11 - 7}{2} = 2$$

Теперь вернемся к переменной x.

1) $$(\frac{x+1}{x-3})^2 = 9$$

$$\frac{x+1}{x-3} = \pm 3$$

$$\frac{x+1}{x-3} = 3$$ или $$\frac{x+1}{x-3} = -3$$

$$x+1 = 3(x-3)$$ или $$x+1 = -3(x-3)$$

$$x+1 = 3x-9$$ или $$x+1 = -3x+9$$

$$2x = 10$$ или $$4x = 8$$

$$x = 5$$ или $$x = 2$$

2) $$(\frac{x+1}{x-3})^2 = 2$$

$$\frac{x+1}{x-3} = \pm \sqrt{2}$$

$$\frac{x+1}{x-3} = \sqrt{2}$$ или $$\frac{x+1}{x-3} = -\sqrt{2}$$

$$x+1 = \sqrt{2}(x-3)$$ или $$x+1 = -\sqrt{2}(x-3)$$

$$x+1 = \sqrt{2}x - 3\sqrt{2}$$ или $$x+1 = -\sqrt{2}x + 3\sqrt{2}$$

$$x(\sqrt{2} - 1) = 1 + 3\sqrt{2}$$ или $$x(\sqrt{2} + 1) = 3\sqrt{2} - 1$$

$$x = \frac{1 + 3\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1}$$ или $$x = \frac{3\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$$

$$x = \frac{(1 + 3\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1 + 6 + 3\sqrt{2}}{2 - 1} = 4\sqrt{2} + 7$$

$$x = \frac{(3\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{6 - 3\sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 7 - 4\sqrt{2}$$

Ответ: x = 5, x = 2, $$x = 7 + 4\sqrt{2}$$, $$x = 7 - 4\sqrt{2}$$.