1. Найдите значение выражения: a) $$3\frac{4}{7} - 2\frac{3}{5}$$; б) $$6\frac{5}{6} + 2\frac{3}{8}$$; в) $$4\frac{5}{14} + (5\frac{1}{12} - 3\frac{4}{21}$$). 2. На автомашину положили сначала $$2\frac{1}{3}$$ т груза, а потом на $$1\frac{3}{4}$$ т больше. Сколько всего тонн груза положили на автомашину? 3. Ученик рассчитывал за $$1\frac{5}{6}$$ ч приготовить уроки и за $$1\frac{3}{4}$$ ч закончить модель корабля. Однако на всю работу он потратил на $$\frac{2}{5}$$ ч меньше, чем предполагал. Сколько времени потратил ученик на всю работу? 4. Решите уравнение $$8\frac{9}{26} - z = 5\frac{7}{39}$$. 5. Разложите число 90 на два взаимно простых множителя четырьмя различными способами (разложения, отличающиеся только порядком множителей, считать за один способ).

1. Найдите значение выражения: а) $$3\frac{4}{7} - 2\frac{3}{5}$$ Переведем смешанные дроби в неправильные: $$3\frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{21 + 4}{7} = \frac{25}{7}$$ $$2\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{10 + 3}{5} = \frac{13}{5}$$ Выполним вычитание: $$\frac{25}{7} - \frac{13}{5} = \frac{25 \cdot 5 - 13 \cdot 7}{7 \cdot 5} = \frac{125 - 91}{35} = \frac{34}{35}$$ Ответ: $$\frac{\bf{34}}{\bf{35}}$$ б) $$6\frac{5}{6} + 2\frac{3}{8}$$ Переведем смешанные дроби в неправильные: $$6\frac{5}{6} = \frac{6 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{36 + 5}{6} = \frac{41}{6}$$ $$2\frac{3}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{16 + 3}{8} = \frac{19}{8}$$ Выполним сложение: $$\frac{41}{6} + \frac{19}{8} = \frac{41 \cdot 4 + 19 \cdot 3}{24} = \frac{164 + 57}{24} = \frac{221}{24} = 9\frac{5}{24}$$ Ответ: $$\bf{9\frac{5}{24}}$$ в) $$4\frac{5}{14} + (5\frac{1}{12} - 3\frac{4}{21})$$ Переведем смешанные дроби в неправильные: $$4\frac{5}{14} = \frac{4 \cdot 14 + 5}{14} = \frac{56 + 5}{14} = \frac{61}{14}$$ $$5\frac{1}{12} = \frac{5 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{60 + 1}{12} = \frac{61}{12}$$ $$3\frac{4}{21} = \frac{3 \cdot 21 + 4}{21} = \frac{63 + 4}{21} = \frac{67}{21}$$ Выполним вычитание в скобках: $$\frac{61}{12} - \frac{67}{21} = \frac{61 \cdot 7 - 67 \cdot 4}{84} = \frac{427 - 268}{84} = \frac{159}{84} = \frac{53}{28}$$ Выполним сложение: $$\frac{61}{14} + \frac{53}{28} = \frac{61 \cdot 2 + 53}{28} = \frac{122 + 53}{28} = \frac{175}{28} = \frac{25}{4} = 6\frac{1}{4}$$ Ответ: $$\bf{6\frac{1}{4}}$$ 2. На автомашину положили сначала $$2\frac{1}{3}$$ т груза, а потом на $$1\frac{3}{4}$$ т больше. Сколько всего тонн груза положили на автомашину? Сначала найдем, сколько тонн груза положили потом: $$2\frac{1}{3} + 1\frac{3}{4} = \frac{7}{3} + \frac{7}{4} = \frac{7 \cdot 4 + 7 \cdot 3}{12} = \frac{28 + 21}{12} = \frac{49}{12}$$ Теперь найдем, сколько всего тонн груза положили на автомашину: $$2\frac{1}{3} + \frac{49}{12} = \frac{7}{3} + \frac{49}{12} = \frac{7 \cdot 4 + 49}{12} = \frac{28 + 49}{12} = \frac{77}{12} = 6\frac{5}{12}$$ Ответ: $$\bf{6\frac{5}{12}}$$ тонн 3. Ученик рассчитывал за $$1\frac{5}{6}$$ ч приготовить уроки и за $$1\frac{3}{4}$$ ч закончить модель корабля. Однако на всю работу он потратил на $$\frac{2}{5}$$ ч меньше, чем предполагал. Сколько времени потратил ученик на всю работу? Сначала найдем, сколько времени ученик планировал потратить на всю работу: $$1\frac{5}{6} + 1\frac{3}{4} = \frac{11}{6} + \frac{7}{4} = \frac{11 \cdot 2 + 7 \cdot 3}{12} = \frac{22 + 21}{12} = \frac{43}{12}$$ Теперь найдем, сколько времени ученик потратил на всю работу: $$\frac{43}{12} - \frac{2}{5} = \frac{43 \cdot 5 - 2 \cdot 12}{60} = \frac{215 - 24}{60} = \frac{191}{60} = 3\frac{11}{60}$$ Ответ: $$\bf{3\frac{11}{60}}$$ часа 4. Решите уравнение $$8\frac{9}{26} - z = 5\frac{7}{39}$$. Преобразуем смешанные дроби в неправильные: $$8\frac{9}{26} = \frac{8 \cdot 26 + 9}{26} = \frac{208 + 9}{26} = \frac{217}{26}$$ $$5\frac{7}{39} = \frac{5 \cdot 39 + 7}{39} = \frac{195 + 7}{39} = \frac{202}{39}$$ Тогда уравнение принимает вид: $$\frac{217}{26} - z = \frac{202}{39}$$ $$z = \frac{217}{26} - \frac{202}{39}$$ $$z = \frac{217 \cdot 3 - 202 \cdot 2}{78} = \frac{651 - 404}{78} = \frac{247}{78} = 3\frac{13}{78} = 3\frac{1}{6}$$ Ответ: $$\bf{3\frac{1}{6}}$$ 5. Разложите число 90 на два взаимно простых множителя четырьмя различными способами (разложения, отличающиеся только порядком множителей, считать за один способ). Взаимно простые числа - это числа, у которых нет общих делителей, кроме 1. * $$90 = 1 \times 90$$ - не подходит, т.к. 90 делится на много чисел (2, 3, 5 и т.д.) * $$90 = 2 \times 45$$ - не подходит, т.к. 45 делится на 3 и 5, а 2 - простое число. * $$90 = 3 \times 30$$ - не подходит, т.к. 30 делится на 3 и 5. * $$90 = 5 \times 18$$ - не подходит, т.к. 18 делится на 2 и 3. * $$90 = 6 \times 15$$ - не подходит, т.к. оба числа делятся на 3. * $$90 = 9 \times 10$$ - не подходит, т.к. оба числа имеют общий делитель. Разложение числа 90 на два взаимно простых множителя невозможно четырьмя различными способами, так как единственная пара взаимно простых чисел, при умножении которых получается 90, это 1 и 90. Предположим, что требуется разложить на любые два множителя. Тогда: * $$90 = 1 \times 90$$ * $$90 = 2 \times 45$$ * $$90 = 3 \times 30$$ * $$90 = 5 \times 18$$ Ответ: $$\bf{1 \times 90; 2 \times 45; 3 \times 30; 5 \times 18}$$