Решение:

Рассмотрим треугольник AKB. Из условия задачи известно, что AC=CK и BK=BC. Следовательно, треугольники AKC и BKC - равнобедренные.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим угол CAK как \(\alpha\). Тогда \(\angle CAK = \angle CKA = 40^{\circ}\).

Сумма углов в треугольнике AKC равна 180 градусов. Следовательно, \(\angle ACK = 180^{\circ} - 2 \cdot 40^{\circ} = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}\).

Треугольник BKC - равнобедренный, поэтому \(\angle CBK = \angle BCK\). Пусть \(\angle CBK = x\), тогда \(\angle BCK = x\).

Сумма углов в треугольнике BKC также равна 180 градусов. Следовательно, \(\angle BKC = 180^{\circ} - 2x\).

Угол AKB является развернутым углом и равен 180 градусов. Следовательно, \(\angle ACK + \angle BKC = 180^{\circ}\), то есть \(100^{\circ} + 180^{\circ} - 2x = 180^{\circ}\).

Решим уравнение относительно x:

\(2x = 100^{\circ}\)
\(x = 50^{\circ}\)

Таким образом, \(\angle CBK = 50^{\circ}\).

В треугольнике ABC сумма углов равна 180 градусов. Известно, что \(\angle CAB = 40^{\circ}\) и \(\angle ABC = 50^{\circ}\). Тогда \(\angle ACB = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 50^{\circ} = 90^{\circ}\).

Так как CD - биссектриса угла C, то она делит угол пополам. Следовательно, \(\angle ACD = \angle BCD = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}\).

Угол ABD - это угол между прямой BD и стороной AB. Значит,

\(\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 50^{\circ} - \angle CBD\).

Но мы не знаем угол CBD. Однако мы знаем, что сумма углов в треугольнике BCD равна 180 градусов. Следовательно,

\(\angle CDB = 180^{\circ} - \angle BCD - \angle CBD = 180^{\circ} - 45^{\circ} - \angle CBD\).

Мы не можем определить \(\angle CBD\) без дополнительной информации. Поэтому мы не можем найти угол ABD.

Ответ: Невозможно определить угол ABD без дополнительной информации.