5. Найти, на какой высоте обращается искусственный спутник планеты, если его скорость 3 км/с. Масса планеты 8·1030 кг, радиус планеты 1500 км. Как изменится высота, если скорость спутника увеличится?

Дано:

• v = 3 км/с = 3000 м/с


• M = 8*10³⁰ кг


• Rпл = 1500 км = 1,5 * 10⁶ м

Найти: h

Решение:

Cила гравитационного притяжения:

$$F = G \frac{Mm}{(R_{пл} + h)^2}$$

Центростремительное ускорение:

$$a = \frac{v^2}{R_{пл} + h}$$

Второй закон Ньютона:

$$G \frac{Mm}{(R_{пл} + h)^2} = m \frac{v^2}{R_{пл} + h}$$

Упростим:

$$G \frac{M}{R_{пл} + h} = v^2$$

Выразим высоту h:

$$R_{пл} + h = G \frac{M}{v^2}$$
$$h = G \frac{M}{v^2} - R_{пл}$$

Подставим значения, гравитационная постоянная G = 6.674*10⁻¹¹ Н·м²/кг²:

$$h = 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{8 \cdot 10^{30}}{(3 \cdot 10^3)^2} - 1.5 \cdot 10^6 = \frac{6.674 \cdot 8 \cdot 10^{19}}{9 \cdot 10^6} - 1.5 \cdot 10^6$$
$$h = \frac{53.392}{9} \cdot 10^{13} - 1.5 \cdot 10^6 = 5.932 \cdot 10^{13} - 1.5 \cdot 10^6 \approx 5.932 \cdot 10^{13} \text{ м}$$

Если скорость спутника увеличится, то высота h тоже увеличится, так как высота прямо пропорциональна скорости.

Ответ: $$5.932 \cdot 10^{13} \text{ м}$$. Высота увеличится.