Основания прямоугольной трапеции равны 18 см и 12 см, а диагональ является биссектрисой её острого угла. Вычислите площадь трапеции.

Решение:

Пусть \( ABCD \) — прямоугольная трапеция, где \( BC = 12 \) см — меньшее основание, \( AD = 18 \) см — большее основание, \( AB \) — высота, \( ∠A = ∠B = 90° \).

Пусть \( AC \) — диагональ, являющаяся биссектрисой острого угла \( ∠A \). Так как \( ∠A = 90° \), то \( ∠BAC = ∠CAD = 90°/2 = 45° \).

Рассмотрим треугольник \( ○ ABC \). \( AB \) — высота, \( BC = 12 \) см, \( ∠B = 90° \).

Рассмотрим треугольник \( ○ ABC \). \( ∠BAC = 45° \).

Сумма углов в треугольнике \( ○ ABC \) равна 180°.

\( ∠BCA = 180° - 90° - 45° = 45° \).

Так как \( ∠BAC = ∠BCA = 45° \), то треугольник \( ○ ABC \) — равнобедренный. Следовательно, \( AB = BC = 12 \) см.

\( AB \) — высота трапеции, значит, высота \( h = 12 \) см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

\[ S = \frac{a+b}{2} · h \]
Где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.

\[ S = \frac{18 + 12}{2} · 12 \]\[ S = \frac{30}{2} · 12 \]\[ S = 15 · 12 \]\[ S = 180 \) см².

Ответ: Площадь трапеции равна 180 см².