10. От пристани по реке отправился плот. Через $$\frac{5}{6}$$ ч вслед за ним вышел теплоход и через $$\frac{5}{6}$$ ч обогнал плот на 38,1 км. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки равна 1,5 км/ч.

Пусть $$v$$ - собственная скорость теплохода (км/ч). Время, которое плыл плот до момента обгона его теплоходом, равно $$\frac{5}{6} + \frac{5}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$ часа. За это время плот проплыл расстояние $$S_{плот} = (1.5) \cdot \frac{5}{3} = 2.5$$ км.

Теплоход плыл $$\frac{5}{6}$$ часа со скоростью $$v + 1.5$$ км/ч, и за это время он проплыл $$38.1 + 2.5 = 40.6$$ км. Таким образом, $$S_{теплоход} = (v + 1.5) \cdot \frac{5}{6} = 40.6$$.

Решим уравнение относительно $$v$$:

$$\frac{5}{6} (v + 1.5) = 40.6$$

$$v + 1.5 = 40.6 \cdot \frac{6}{5}$$

$$v + 1.5 = 48.72$$

$$v = 48.72 - 1.5 = 47.22$$

Собственная скорость теплохода равна 47,22 км/ч.

Ответ: 47,22 км/ч.