2) Отрезки АС и BD пересекаются в точке О. Найдите: a) ∠B, если известно, что ∠BAO = ∠DCO, AO = CO, ∠D=62°; б) OD, если известно, что ∠BAO =∠DCO, AO = CO, OB = 13.

Рассмотрим задачу по геометрии, где отрезки AC и BD пересекаются в точке O. а) Найти ∠B, если известно, что ∠BAO = ∠DCO, AO = CO, ∠D = 62°.

Для начала рассмотрим треугольники $$\triangle BAO$$ и $$\triangle DCO$$.

По условию, $$AO = CO$$ и $$\angle BAO = \angle DCO$$. Также известно, что $$\angle AOB = \angle DOC$$ как вертикальные углы.

Таким образом, треугольники $$\triangle BAO$$ и $$\triangle DCO$$ равны по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что $$BO = DO$$ и $$BA = DC$$.

Рассмотрим треугольники $$\triangle BOC$$ и $$\triangle DOA$$. У них $$BO = DO$$ (из равенства треугольников $$\triangle BAO$$ и $$\triangle DCO$$), $$AO = CO$$ (по условию) и $$\angle BOC = \angle DOA$$ (как вертикальные углы). Следовательно, треугольники $$\triangle BOC$$ и $$\triangle DOA$$ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Тогда $$BC = AD$$. В четырёхугольнике $$ABCD$$ диагонали $$AC$$ и $$BD$$ в точке пересечения делятся пополам ($$AO = OC$$ и $$BO = OD$$), а противоположные стороны попарно равны ($$BA = DC$$ и $$BC = AD$$). Следовательно, $$ABCD$$ – параллелограмм.

В параллелограмме противоположные углы равны, то есть $$\angle B = \angle D$$. По условию, $$\angle D = 62^\circ$$, следовательно, $$\angle B = 62^\circ$$.

Ответ: $$\angle B = \mathbf{62^\circ}$$.

б) Найти OD, если известно, что ∠BAO = ∠DCO, AO = CO, OB = 13.

Как было установлено в пункте (а), треугольники $$\triangle BAO$$ и $$\triangle DCO$$ равны. Из равенства этих треугольников следует, что $$BO = DO$$.

По условию, $$OB = 13$$, следовательно, $$OD = 13$$.

Ответ: $$OD = \mathbf{13}$$.