121 Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, причем АО = ОВ; ∠OAD = ∠OBC; CD = 26 см, не О отрезка АВ, ∠OAD = ∠OBC. а) Докажите, что ΔСВО = ΔDAO; б) найдите ВС и СО, если AD = 15 см. 122 На рисунке 53 (см. с. 31) ∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4. а) Докажите, что ΔАВС = ΔCDA; AD = 19 см, б) найдите АВ и ВС, если CD = 11 см. 123 На биссектрисе угла А взята точка D, а на сторонах этого угла – точки В и С такие, что ∠ADB = ∠ADC. Докажите, что BD=CD. 124 По данным рисунка 73 докажите, что OP=OT, ∠P = ∠T. 125 На рисунке 74 ∠DAC = ∠DBC, AO = ВО. Докажите, что ∠C=∠D и AC = BD. 126 На рисунке 74 ∠DAB = ∠CBA, ∠CAB = ∠DBA, AC = 13 см, Найдите BD. 127 В треугольниках АВС и A₁B₁C₁ AB = A₁B₁, BC = B₁C, ∠B = ∠B₁. На сторонах АВ и А₁В₁ отмечены точки D и D₁ так, что ∠ACD = ∠AC₁D₁. Докажите, что ABCD = ΔB₁CD₁. 128 Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведенные к соответственно равным сторонам, равны.

121

1. a) Докажем, что ΔСВО = ΔDAO:

Рассмотрим треугольники СВО и DAO.

АО = ОВ (по условию).

∠OAD = ∠OBC (по условию).

∠AOD = ∠BOC (как вертикальные углы).

Следовательно, ΔСВО = ΔDAO по стороне и двум прилежащим углам (по второму признаку равенства треугольников).

2. б) Найдем ВС и СО:

Так как ΔСВО = ΔDAO, то соответствующие стороны равны.

ВС = AD = 15 см.

СО = DO.

CD = CO + DO = 2CO = 26 см.

CO = 26 / 2 = 13 см.

Ответ: ВС = 15 см, CO = 13 см.

122

1. а) Докажем, что ΔАВС = ΔCDA:

Рассмотрим треугольники АВС и CDA.

АС – общая сторона.

∠1 = ∠2 (по условию), значит, АС – биссектриса угла А.

∠3 = ∠4 (по условию), значит, АС – биссектриса угла С.

Следовательно, ΔАВС = ΔCDA по стороне и двум прилежащим углам (по первому признаку равенства треугольников).

2. б) Найдем АВ и ВС:

Так как ΔАВС = ΔCDA, то соответствующие стороны равны.

АВ = CD = 11 см.

ВС = AD = 19 см.

Ответ: АВ = 11 см, ВС = 19 см.

123

Рассмотрим треугольники ADB и ADC.

AD – общая сторона.

∠ADB = ∠ADC (по условию).

Так как AD - биссектриса угла A, то ∠BAD = ∠CAD.

Следовательно, ΔADB = ΔADC по стороне и двум прилежащим углам (по второму признаку равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует, что BD = CD.

Что и требовалось доказать.

124

Рассмотрим треугольники OCP и OAT.

∠COP = ∠TOA (как вертикальные углы).

OP = OT (по условию).

∠P = ∠T (по условию).

Следовательно, ΔOCP = ΔOTA по стороне и двум прилежащим углам (по второму признаку равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.

125

Рассмотрим треугольники DAC и DBC.

AO = BO (по условию).

∠DAC = ∠DBC (по условию).

Так как ∠C=∠D, то ΔDAC = ΔDBC по двум углам.

Значит, AC = BD.

Что и требовалось доказать.

126

Рассмотрим треугольники DAB и CBA.

AC = 13 см (по условию).

∠DAB = ∠CBA (по условию).

∠CAB = ∠DBA (по условию).

Следовательно, ΔDAB = ΔCBA по стороне и двум прилежащим углам (по второму признаку равенства треугольников).

Значит, BD = AC = 13 см.

Ответ: BD = 13 см.

127

Рассмотрим треугольники ACD и A₁C₁D₁.

ACD = ∠AC₁D₁ (по условию).

∠B = ∠B₁ (по условию).

AB = A₁B₁ (по условию).

BC = B₁C (по условию).

Следовательно, ABCD = ΔB₁CD₁ по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

Что и требовалось доказать.

128

Пусть даны равные треугольники ABC и A₁B₁C₁, в которых проведены биссектрисы BD и B₁D₁ к соответственно равным сторонам AC и A₁C₁.

Так как треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны, то AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, и ∠ABC = ∠A₁B₁C₁.

Поскольку BD и B₁D₁ – биссектрисы, то ∠ABD = 1/2 ∠ABC и ∠A₁B₁D₁ = 1/2 ∠A₁B₁C₁.

Следовательно, ∠ABD = ∠A₁B₁D₁.

Тогда треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по двум сторонам и углу между ними (AB = A₁B₁, ∠ABD = ∠A₁B₁D₁, BD – общая сторона).

Значит, BD = B₁D₁.

Что и требовалось доказать.