Площадь квадрата, вписанного в окружность, равна 16 см². Найдите площадь правильного треугольника, описанного около этой же окружности.

Решение:

1. Найдём радиус окружности.

• Площадь квадрата \( S_{кв} = 16 \) см².
• Сторона квадрата \( a \) находится по формуле \( S_{кв} = a^2 \), значит \( a = \sqrt{16} = 4 \) см.
• Диагональ квадрата \( d \) равна \( a \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} \) см.
• Диагональ квадрата является диаметром вписанной окружности.
• Радиус окружности \( R = \frac{d}{2} = \frac{4 \sqrt{2}}{2} = 2 \sqrt{2} \) см.

2. Найдём площадь правильного треугольника, описанного около окружности.

• Радиус \( R \) окружности, вписанной в правильный треугольник, связан со стороной треугольника \( b \) формулой \( R = \frac{b}{2 \sqrt{3}} \).
• Выразим сторону \( b \) через \( R \): \( b = 2 \sqrt{3} R \).
• Подставим значение \( R \): \( b = 2 \sqrt{3} \cdot 2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{6} \) см.
• Площадь правильного треугольника \( S_{тр} = \frac{b^2 \sqrt{3}}{4} \).
• Подставим значение \( b \): \( S_{тр} = \frac{(4 \sqrt{6})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{16 \cdot 6 \sqrt{3}}{4} = \frac{96 \sqrt{3}}{4} = 24 \sqrt{3} \) см².

Ответ: \( 24 \sqrt{3} \) см².