Решение:

Для решения данной задачи нам потребуется построить график функции и проанализировать его.

1. Интервал возрастания функции:

Функция определена как:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1, & \text{если } x \in [-3; 2] \\ \sqrt{x - 1} + 2, & \text{если } x \in (2; 5] \end{cases}$$

Рассмотрим каждый участок функции отдельно:

• Для $$x \in [-3; 2]$$ функция $$f(x) = x^2 - 1$$ является параболой. В этом интервале она убывает от $$x = -3$$ до $$x = 0$$ и возрастает от $$x = 0$$ до $$x = 2$$.
• Для $$x \in (2; 5]$$ функция $$f(x) = \sqrt{x - 1} + 2$$ является возрастающей.

Исходя из этого, интервал возрастания функции: $$x \in [0; 5]$$.

Ответ: $$x \in [0; 5]$$

Интервал убывания функции:

Как было отмечено выше, функция $$f(x) = x^2 - 1$$ убывает на интервале $$x \in [-3; 0]$$.

Ответ: $$x \in [-3; 0]$$

Наибольшее и наименьшее значения функции:

а) Наибольшее значение функции:

• Для $$x \in [-3; 2]$$, наибольшее значение достигается при $$x = -3$$, $$f(-3) = (-3)^2 - 1 = 9 - 1 = 8$$.
• Для $$x \in (2; 5]$$, наибольшее значение достигается при $$x = 5$$, $$f(5) = \sqrt{5 - 1} + 2 = \sqrt{4} + 2 = 2 + 2 = 4$$.

Следовательно, наибольшее значение функции равно 8.

Ответ: $$f(-3) = 8$$

б) Наименьшее значение функции:

• Для $$x \in [-3; 2]$$, наименьшее значение достигается при $$x = 0$$, $$f(0) = (0)^2 - 1 = -1$$.

Проверим значение функции при $$x = 2$$: $$f(2) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3$$.

Для $$x \in (2; 5]$$ наименьшее значение достигается при $$x$$ близком к 2, $$f(x) = \sqrt{x - 1} + 2$$, но поскольку интервал $$(2; 5]$$, то рассмотрим значение в точке x = 2.0000001: $$f(2.0000001) \approx \sqrt{2.0000001-1} + 2 \approx 1 + 2 = 3$$. Следовательно, наименьшее значение функции равно -1.

Ответ: $$f(0) = -1$$