22. Построй график функции $$y = \frac{(x^2 - 9)(x + 2)}{-x- 2}$$ и определи, при каком значении k прямая $$y = kx$$ имеет с графиком функции ровно одну общую точку.

Для начала упростим функцию:

$$y = \frac{(x^2 - 9)(x + 2)}{-x- 2} = \frac{(x - 3)(x + 3)(x + 2)}{-(x + 2)}$$

При $$x
eq -2$$ можно сократить на $$(x+2)$$:

$$y = -(x - 3)(x + 3) = -(x^2 - 9) = -x^2 + 9$$

Графиком является парабола $$y = -x^2 + 9$$ с вершиной в точке $$(0, 9)$$, ветви направлены вниз.

Особая точка $$x = -2$$. Найдем значение функции в этой точке: $$y(-2) = -(-2)^2 + 9 = -4 + 9 = 5$$. Значит, на графике есть "выколотая" точка $$(-2, 5)$$.

Теперь рассмотрим прямую $$y = kx$$, проходящую через начало координат. Нам нужно найти такое $$k$$, чтобы прямая имела с параболой ровно одну общую точку.

1. Прямая касается параболы.

2. Прямая проходит через выколотую точку.

Найдем $$k$$, при котором прямая проходит через точку $$(-2, 5)$$:

$$5 = k \cdot (-2)$$ $$k = -\frac{5}{2} = -2.5$$

Теперь найдем $$k$$, при котором прямая $$y = kx$$ касается параболы $$y = -x^2 + 9$$. Для этого приравняем уравнения:

$$kx = -x^2 + 9$$ $$x^2 + kx - 9 = 0$$

Чтобы прямая касалась параболы, дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю:

$$D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = k^2 + 36 = 0$$ $$k^2 = -36$$

Так как $$k^2$$ не может быть отрицательным, касания не существует.

Значит, единственный случай, когда прямая имеет с графиком ровно одну общую точку – это когда она проходит через "выколотую" точку $$(-2, 5)$$.

Таким образом, $$k = -2.5$$.

При $$k = -2.5$$ прямая $$y = kx$$ проходит через выколотую точку графика функции, поэтому имеет с графиком ровно одну общую точку.

Ответ: -2.5