22. Постройте график функции \(y = x^2 - |6x - 3|\). Определите, при каких значениях \(m\) прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки.

Решение: Рассмотрим функцию \(y = x^2 - |6x - 3|\). 1) Если \(6x - 3 \geq 0\), то есть \(x \geq \frac{1}{2}\), то \(y = x^2 - (6x - 3) = x^2 - 6x + 3\). 2) Если \(6x - 3 < 0\), то есть \(x < \frac{1}{2}\), то \(y = x^2 + (6x - 3) = x^2 + 6x - 3\). Для \(x \geq \frac{1}{2}\): \(y = x^2 - 6x + 3 = (x - 3)^2 - 6\). Вершина параболы в точке (3, -6). Для \(x < \frac{1}{2}\): \(y = x^2 + 6x - 3 = (x + 3)^2 - 12\). Вершина параболы в точке (-3, -12). График функции состоит из двух кусков параболы, соединенных в точке \(x = \frac{1}{2}\). В этой точке \(y = (\frac{1}{2})^2 + 6(\frac{1}{2}) - 3 = \frac{1}{4} + 3 - 3 = \frac{1}{4}\). Прямая \(y = m\) имеет с графиком ровно три общие точки, когда она проходит через вершину одной из парабол или через точку соединения кусков графика. В данном случае это возможно при \(m = -6\) или \(m = \frac{1}{4}\). Ответ: -6; 1/4