1. Представьте в виде дроби выражение: a) $$\frac{12m^3}{k^4} \cdot \frac{k^2}{2m^3}$$; б) $$\frac{a-b}{a} \cdot (\frac{a}{b} + \frac{b}{a-b})$$; 6) $$\frac{27xy^3}{z} : (18x^2y);$$ 2. Дана функция у = -$$\frac{5}{x}$$. а) Какова область ее определения? б) Постройте ее график. в) Проходит ли график данной функции через точку $$K(3\frac{4}{7}; -1\frac{2}{5})$$? 3. Упростите выражение $$\frac{1}{x^2-y^2} - \frac{1}{xy+y^2} : \frac{2y^2}{xy+x^2}$$ 4. Известно, что график функции $$y = \frac{k}{x}$$ проходит через точку $$A(2\frac{1}{4}; 1\frac{1}{4})$$. Проходит ли он через точку $$B(-2\frac{5}{8}; -1\frac{1}{6})$$?

Рассмотрим каждое задание отдельно.

Задание 1

а) $$\frac{12m^3}{k^4} \cdot \frac{k^2}{2m^3} = \frac{12m^3k^2}{2m^3k^4} = \frac{6}{k^2}$$

б) $$\frac{a-b}{a} \cdot (\frac{a}{b} + \frac{b}{a-b}) = \frac{a-b}{a} \cdot (\frac{a(a-b) + b^2}{b(a-b)}) = \frac{a-b}{a} \cdot (\frac{a^2 - ab + b^2}{b(a-b)}) = \frac{a^2 - ab + b^2}{ab}$$

в) $$\frac{27xy^3}{z} : (18x^2y) = \frac{27xy^3}{z} \cdot \frac{1}{18x^2y} = \frac{27xy^3}{18x^2yz} = \frac{3y^2}{2xz}$$

Задание 2

Дана функция $$y = -\frac{5}{x}$$

а) Область определения функции: $$x
eq 0$$. То есть, $$x$$ может быть любым числом, кроме нуля.

б) Чтобы построить график функции $$y = -\frac{5}{x}$$, нужно отметить несколько точек и соединить их плавной линией. Это гипербола, расположенная во II и IV четвертях.

в) Проверим, проходит ли график функции через точку $$K(3\frac{4}{7}; -1\frac{2}{5})$$.

Подставим координаты точки $$K$$ в уравнение функции:

$$y = -\frac{5}{x}$$

$$-1\frac{2}{5} = -\frac{5}{3\frac{4}{7}}$$

$$- \frac{7}{5} = -\frac{5}{\frac{25}{7}}$$

$$- \frac{7}{5} = -\frac{5 \cdot 7}{25}$$

$$- \frac{7}{5} = -\frac{7}{5}$$

Равенство выполняется, следовательно, график функции проходит через точку $$K$$.

Задание 3

Упростим выражение: $$\frac{1}{x^2-y^2} - \frac{1}{xy+y^2} : \frac{2y^2}{xy+x^2}$$

$$\frac{1}{x^2-y^2} - \frac{1}{y(x+y)} : \frac{2y^2}{x(y+x)} = \frac{1}{(x-y)(x+y)} - \frac{1}{y(x+y)} \cdot \frac{x(x+y)}{2y^2} = \frac{1}{(x-y)(x+y)} - \frac{x}{2y^3} = \frac{2y^3 - x(x^2 - y^2)}{2y^3(x^2-y^2)} = \frac{2y^3 - x^3 + xy^2}{2y^3(x^2-y^2)}$$

Задание 4

Известно, что график функции $$y = \frac{k}{x}$$ проходит через точку $$A(2\frac{1}{4}; 1\frac{1}{4})$$. Найдем $$k$$.

$$1\frac{1}{4} = \frac{k}{2\frac{1}{4}}$$

$$\frac{5}{4} = \frac{k}{\frac{9}{4}}$$

$$k = \frac{5}{4} \cdot \frac{9}{4} = \frac{45}{16}$$

Теперь проверим, проходит ли график функции $$y = \frac{45}{16x}$$ через точку $$B(-2\frac{5}{8}; -1\frac{1}{6})$$.

$$-1\frac{1}{6} = \frac{\frac{45}{16}}{-2\frac{5}{8}}$$

$$- \frac{7}{6} = \frac{\frac{45}{16}}{-\frac{21}{8}}$$

$$- \frac{7}{6} = \frac{45}{16} \cdot (-\frac{8}{21})$$

$$- \frac{7}{6} = -\frac{45 \cdot 8}{16 \cdot 21}$$

$$- \frac{7}{6} = -\frac{45 \cdot 1}{2 \cdot 21}$$

$$- \frac{7}{6} = -\frac{15}{14}$$

Равенство не выполняется, следовательно, график функции не проходит через точку $$B$$.