1. Представьте выражение в виде дроби: a) $$\frac{28p^4}{q^6} \cdot \frac{q^5}{56p^4}$$; б) $$\frac{72x^3y}{z} : (30x^2y)$$; в) $$\frac{x^2-1}{x^2-9} : \frac{5x+10}{x-1}$$; г) $$\frac{y+c}{c} \cdot (\frac{c}{y} + \frac{c}{y+c})$$ 2. Постройте график функции $$y = -\frac{6}{x}$$. Какова область определения функции? При каких значениях x функция принимает отрицательные значения? 3. Докажите, что при всех значениях $$x \neq \pm 2$$ значение выражения $$\frac{x}{x+2} - \frac{(x-2)^2}{2}(\frac{1}{x^2-4} + \frac{1}{x^2 - 4x + 4})$$ не зависит от х.

1. Представьте выражение в виде дроби:

a) $$\frac{28p^4}{q^6} \cdot \frac{q^5}{56p^4}$$

Сократим числитель и знаменатель на $$28p^4$$:

$$ \frac{28p^4}{q^6} \cdot \frac{q^5}{56p^4} = \frac{1}{q^6} \cdot \frac{q^5}{2} $$

Сократим $$q^5$$ и $$q^6$$:

$$ \frac{1}{q^6} \cdot \frac{q^5}{2} = \frac{1}{q \cdot 2} = \frac{1}{2q} $$

Ответ: $$\frac{1}{2q}$$

б) $$\frac{72x^3y}{z} : (30x^2y)$$

Заменим деление умножением на перевернутую дробь:

$$ \frac{72x^3y}{z} : (30x^2y) = \frac{72x^3y}{z} \cdot \frac{1}{30x^2y} $$

Сократим 72 и 30 на 6:

$$ \frac{12x^3y}{z} \cdot \frac{1}{5x^2y} $$

Сократим $$x^2y$$ и $$x^3y$$:

$$ \frac{12x}{z} \cdot \frac{1}{5} = \frac{12x}{5z} $$

Ответ: $$\frac{12x}{5z}$$

в) $$\frac{x^2-1}{x^2-9} : \frac{5x+10}{x-1}$$

Заменим деление умножением на перевернутую дробь:

$$ \frac{x^2-1}{x^2-9} : \frac{5x+10}{x-1} = \frac{x^2-1}{x^2-9} \cdot \frac{x-1}{5x+10} $$

Разложим на множители:

$$ \frac{(x-1)(x+1)}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{x-1}{5(x+2)} = \frac{(x-1)(x+1)(x-1)}{5(x-3)(x+3)(x+2)} = \frac{(x-1)^2(x+1)}{5(x-3)(x+3)(x+2)} $$

Ответ: $$\frac{(x-1)^2(x+1)}{5(x-3)(x+3)(x+2)}$$

г) $$\frac{y+c}{c} \cdot (\frac{c}{y} + \frac{c}{y+c})$$

Вынесем c за скобки:

$$ \frac{y+c}{c} \cdot c(\frac{1}{y} + \frac{1}{y+c}) = (y+c) \cdot (\frac{1}{y} + \frac{1}{y+c}) $$

Приведем к общему знаменателю:

$$ (y+c) \cdot (\frac{y+c + y}{y(y+c)}) = (y+c) \cdot (\frac{2y+c}{y(y+c)}) = \frac{2y+c}{y} $$

Ответ: $$\frac{2y+c}{y}$$

2. Постройте график функции $$y = -\frac{6}{x}$$. Какова область определения функции? При каких значениях x функция принимает отрицательные значения?

Функция $$y = -\frac{6}{x}$$ — это гипербола. Область определения функции: $$x
eq 0$$, то есть $$(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$.

Функция принимает отрицательные значения, когда $$y < 0$$. Поскольку $$y = -\frac{6}{x}$$, то $$-\frac{6}{x} < 0$$. Умножим обе части неравенства на -1, знак неравенства изменится:

$$ \frac{6}{x} > 0 $$

Это неравенство выполняется, когда $$x > 0$$.

Ответ: Область определения: $$(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$. Функция принимает отрицательные значения при $$x > 0$$.

3. Докажите, что при всех значениях $$x
eq \pm 2$$ значение выражения $$\frac{x}{x+2} - \frac{(x-2)^2}{2}(\frac{1}{x^2-4} + \frac{1}{x^2 - 4x + 4})$$ не зависит от х.

$$ \frac{x}{x+2} - \frac{(x-2)^2}{2}(\frac{1}{x^2-4} + \frac{1}{x^2 - 4x + 4}) = \frac{x}{x+2} - \frac{(x-2)^2}{2}(\frac{1}{(x-2)(x+2)} + \frac{1}{(x-2)^2}) $$

Приведем к общему знаменателю:

$$ \frac{x}{x+2} - \frac{(x-2)^2}{2}(\frac{x-2 + x+2}{(x-2)^2(x+2)}) = \frac{x}{x+2} - \frac{(x-2)^2}{2}(\frac{2x}{(x-2)^2(x+2)}) $$

Сократим:

$$ \frac{x}{x+2} - \frac{2x}{2(x+2)} = \frac{x}{x+2} - \frac{x}{x+2} = 0 $$

Ответ: Значение выражения равно 0 и не зависит от x.