Преобразуйте выражение: а) $$\left(\frac{1}{6}x^{-1}y^{3}\right)^{-1}$$; б) $$\left(\frac{3a^{-4}}{2b^{-3}}\right)^{-2} \cdot 10a^{7}b^{3}$$.

Решение:

а) $$\left(\frac{1}{6}x^{-1}y^{3}\right)^{-1}$$

Используем свойство степени: $$(ab)^n = a^n b^n$$ и $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$

$$\left(\frac{1}{6}x^{-1}y^{3}\right)^{-1} = \left(\frac{1}{6}\right)^{-1} \cdot (x^{-1})^{-1} \cdot (y^{3})^{-1} = 6 \cdot x^{(-1) \cdot (-1)} \cdot y^{3 \cdot (-1)} = 6 \cdot x^{1} \cdot y^{-3} = 6x \cdot \frac{1}{y^3} = \frac{6x}{y^3}$$

Ответ: $$\frac{6x}{y^3}$$

---

б) $$\left(\frac{3a^{-4}}{2b^{-3}}\right)^{-2} \cdot 10a^{7}b^{3}$$

Сначала упростим выражение $$\left(\frac{3a^{-4}}{2b^{-3}}\right)^{-2}$$:

$$\left(\frac{3a^{-4}}{2b^{-3}}\right)^{-2} = \frac{(3a^{-4})^{-2}}{(2b^{-3})^{-2}} = \frac{3^{-2}(a^{-4})^{-2}}{2^{-2}(b^{-3})^{-2}} = \frac{\frac{1}{9}a^{8}}{\frac{1}{4}b^{6}} = \frac{1}{9}a^{8} \cdot \frac{4}{1}b^{-6} = \frac{4a^8}{9b^6}$$

Теперь упростим исходное выражение:

$$\frac{4a^8}{9b^6} \cdot 10a^7b^3 = \frac{4 \cdot 10}{9} \cdot \frac{a^8 \cdot a^7}{b^6 \cdot b^{-3}} = \frac{40}{9} \cdot a^{8+7} \cdot b^{3-6} = \frac{40}{9} a^{15} b^{-3} = \frac{40a^{15}}{9b^3}$$

Ответ: $$\frac{40a^{15}}{9b^3}$$