1. Производятся испытания электрической лампочки на длительность непрерывного горения. Изобразите схематически на числовой прямой события А = {лампочка прослужит не менее 1000 часов}, В = {лампочка прослужит не менее 1500 часов} и С = {лампочка прослужит от 1800 до 2000 часов}. Расположите эти события в порядке возрастания вероятностей. 2. При изготовлении подшипников диаметром 50 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного более чем на 0,02 мм, равна 0,013. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр в пределах от 49,98 до 50,02 мм. 3. В небольшом городе работает кафе. Вероятность того, что в воскресенье вечером в кафе окажется одновременно не менее 15 посетителей, равна 0,48. Вероятность того, что посетителей будет не менее 25, равна 0,35. Найдите вероятность того, что в воскресенье вечером в кафе окажется одновременно от 15 до 24 посетителей.

1. Чтобы изобразить события на числовой прямой и расположить их в порядке возрастания вероятностей, рассмотрим их логически: * Событие A: Лампочка прослужит не менее 1000 часов. Это самое широкое событие, так как включает в себя и события B, и C. * Событие B: Лампочка прослужит не менее 1500 часов. Это событие более узкое, чем A, но включает в себя C. * Событие C: Лампочка прослужит от 1800 до 2000 часов. Это самое узкое событие. Таким образом, вероятность события A самая высокая, события B - меньше, а события C - самая маленькая. На числовой прямой это можно изобразить так:

    ------------------------------------------------------------>
    |      C      |       B       |             A             |
    1800-2000    >=1500          >=1000
    

По возрастанию вероятностей: C, B, A 2. Пусть событие D - диаметр подшипника отличается от заданного более чем на 0,02 мм. Тогда вероятность этого события $$P(D) = 0,013$$. Нам нужно найти вероятность того, что диаметр подшипника находится в пределах от 49,98 до 50,02 мм. Это противоположное событию D, то есть подшипник не отличается от заданного более чем на 0,02 мм. Вероятность противоположного события $$\overline{D}$$ равна: $$P(\overline{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0,013 = 0,987$$. Таким образом, вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр в пределах от 49,98 до 50,02 мм, равна 0,987. 3. Пусть: * X - событие, что в кафе окажется не менее 15 посетителей, $$P(X) = 0,48$$. * Y - событие, что в кафе окажется не менее 25 посетителей, $$P(Y) = 0,35$$. Нам нужно найти вероятность того, что в кафе окажется от 15 до 24 посетителей включительно. Это означает, что посетителей не менее 15, но меньше 25. Можно сказать, что это событие X, но не Y. $$P(X \text{ и не } Y) = P(X) - P(Y) = 0,48 - 0,35 = 0,13$$. Вероятность того, что в воскресенье вечером в кафе окажется одновременно от 15 до 24 посетителей, равна 0,13.